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«t Pv I . .

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u — a V — I {u — by-^

Les fonctions U(tt — •^)^~S V admettent donc comme points critiques le point x et les racines a, 6, ... de l'équation Q = o et se reproduisent multipliées par e^''^^ ^2iwa,^ ^2itip,^ ^ ^ ^ lorsque Ton tourne autour de ces divers

points.

Cela posé, soit O un point quelconque du plan. Joignonsle aux points a, 6, . . . , ^ par des lacets A, B, . . . , X:

soient A, B, . . .,X les valeurs de l'intégrale /U({£ — a:)^'"'rfi/ prise dans le sens direct le long de ces divers contours avec une détermination initiale donnée M de la fonction à intégrer. On pourra prendre pour ligne d'intégration L l'un quelconque des contours suivants : ABA""'B"*, . . . , AXA-'X"», . . .; car, si l'on décrit le contour ABA^'B"', par exemple, la fonction V se reproduira, au retour, multipliée par

fiQUATlONS LINÉAnES. 3^3

La valeur [AB] de Tintégrale prise suivant le contour A6A~*B~* est donc une solution deTéqualion proposée. Il est aisé de la déterminer. En effet, en décrivant d^abord

le lacet A, on obtiendra une première intégrale A, et U(w — ^)^~' aura pour valeur finale c^'^'^tM. Décrivant ensuite le lacet B, on obtient comme seconde partie de rintégrale e^'^'aiB, et U(m — x)^~^ aura pour valeur finale gjic/(a,+Pj)]V|^ L'intégrale suivante, le long de A'^ serait évidemment — A si la fonction à intégrer avait pour valeur initiale (e*™'*tM (qui est sa valeur finale lorsque Ton décrit A avec la valeur initiale M); elle sera donc, dans le cas actuel, égale à — e^^'PtA, et \]{ii — x)^~^ aura pour valeur finale

Enfin l'intégrale suivant B"* sera — B. On aura donc, en réunissant ces résultats,

(6) [AB] = (I — e'^^'POÂ — (I — «"^'»')ÏÏ.

On obtiendra des formules semblables pour les intégrales analogues^ telles que [AX], [BX], .... On déduit immédiatement de ces relations les suivantes :