IV. — Intégration par des intégrales définies

192. L'équation de Gauss est un cas particulier de la suivante

' //» I rf»-' I

t,\ ,' , a-i)a-n-hi)^ rf»-'i

rf«-'i rf»-*i

- R(*) ^^î + a - n + 1) R'(x) 3j;ïz; — • . .

OÙ $ est une constante, et Q(x), R(^) deux polynômes, tels que Tun des polynômes Q(^), xK{x) soit de degré ai, et l'autre de degré %n.

Nous essayerons de satisfaire à cette équation en posant

lz=Ç'\}{u^x)^-'du,

U étant une fonction de u qui reste à déterminer ainsi que la ligne L d^intégration.

Substituant dans Téquation la valeur précédente et supprimant le facteur commun ( — i)" (Ç — 1). . .(Ç — /i 4- i), il

ÉQUATIONS LINÉAIRES. a4l

viendra

= /*[(? — '»)(" — a7)5-«-» Q( m) + ( M — a?)l-» R( w)] U é/u. Déterminons U par la condition

R(«)U = i|^UQ(«).

d'où

rf.UQ(«) R(«) . , T,rt- , /•R('/) ,

et enfin

Inéquation précédente deviendra

= Cd.VQiu) (tt — x)^-"z= fdV,

en posant, pour abréger,

(2) V=UQ(i/)(w — ^)5-«=e-^«<"' "(m — a7)5-«.

L'intégrale de dV sera nulle et l'équation sera satisfaite : i** Si L est un contour fermé tel que V reprenne sa valeur initiale lorsqu'on revient au point de départ;

a^ Si L est une ligne telle que V s'annule à ses deux extrémités.

193. Nous allons voir, en discutant ces diverses lignes d'intégration, qu'on peut obtenir en général n intégrales particulières distinctes, dont la combinaison donnera l'intégrale générale de l'équation proposée.

J. — Court, III, i6

24^ TROISIÈMB PARTIE. — CHÀPITRB n.

La fraction j^: — \* décomposée en fractions simples donnera un résultat de la (orme

Pv . P,

où