AX] = [AX
-(s;[*''i)....-^ï^(^tAX])^^..
Le premier terme de ce développement est identiquement nul. Divisant le reste par £, nous obtiendrons une autre intégrale
i [AX] = (^ [AXl)
qui, pour e = o, se réduira à son premier terme
(il*"]).,,.
X et dC désignant ce que deviennent les intégrales  et X lorsqu'on y remplace dans les fonctions à intégrer le facteur {u — a)°*i par sa dérivée {u — a)"* log(w — a) pour la valeur particulière ai = m.
On pourra opérer de même dans tous les cas analogues où une combinaison linéaire des intégrales fondamentales s'annule identiquement. En faisant varier infiniment peu l'un des paramètres, convenablement choisi, cette expression cesserait de s'annuler. Sa dérivée par rapport à ce paramètre donnera l'intégrale supplémentaire dont on a besoin.
301. Considérons en particulier le cas où toutes les racines de Q(a) sont inégales et finies; on aura
V= (a — a)» ( M — 6)P. . . (tt — ^)5— , et les intégrales particulières de l'équation proposée seront
données parla formule
Iap...Ç= A" - a)«-» (1/ - ô)P-« ... (a - x)^'^ du,
OÙ L est un contour fermé quelconque, tel que la fonction à intégrer reprenne sa valeur initiale après Tavoir décrit. La différentiation sous le signe f donne évidemment
L*équation différentielle à laquelle satisfait Iap..-Ç équivaut donc à une relation linéaire entre les n + 1 intégrales consécutives Iap...ç, Iap...,|-u • • • » lap.. .,!-«•
D'autre part, on a évidemment
la-f-i, p...^ = lap..., l+i -H («a? — a ) lap...|.
Cette formule et ses analogues, combinées avec la relation précédente, montrent que toutes les intégrales de la forme
OÙ /9, 9, . . . , r sont des entiers, s'expriment linéairement en fonction de n d'entre elles, telles que Iap...ç i, ••.»
Iap...U/i-
Signalons encore cette formule, dont la vérification est immédiate,
202. Si les exposants a, p, • . . , ç sont réels et rationnels, l'intégrale
sera une intégrale abélienne, et l'intégrale Iap...Ç ^n sera une période.
On pouvait prévoir a priori que les périodes d'une intégrale abélienne, considérées comme fonctions de l'un des
paramètres a quiifigurent dans l'intégrale, seraient les solutions d'une équation diOférentielle linéaire à coefficients uniformes. En eifet, soient P, P4, ... les périodes linéairement distinctes. La forme générale des périodes sera
mP-h m|P|-t-. . .,
772, mi, ... étant des entiers. Si nous faisons varier a d*une manière quelconque, P, P|, ... varieront d'une manière continue. Et, si a reprend sa valeur primitive, les valeurs finales de ces fonctions, étant encore des périodes, seront de la forme mP + /ni P| -|- . . . . L'efiet du contour fermé décrit par a sera donc d'opérer sur P, Pn ... une certaine substitution linéaire. L'équation linéaire
1 P Pi ... I d\ dP rfP,
da da da
rrrO,
dont ces périodes sont les solutions, se reproduira multipliée par le déterminant de cette substitution lorsque a décrit ce contour; et, si nous divisons l'équation par le coefficient du premier terme, les coefficients de la nouvelle équation obtenue se reproduiront sans altération. Ce sont donc des fonctions uniformes.
203. Proposons-nous , comme application , de former l'équation difFérentielle à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale elliptique
kU*)
considérées comme fonctions du module k. On a
aSa TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE II.
oa
ea posant
Les périodes de celte intégrale, considérées comme fonctions de Xj satisferont à Féqualion difTérentielle (i) si l'on pose
R(a) = \-- -h -— î -1 Q(K) =zu-\,
La a 2(a — i) J ^^ ^ '
Substituant ces valeurs, il \iendra
Il reste à transformer cette expression en substituant à x sa valeur t-t-
On a
2dk ... c^A:
éte z— rr > d ou - - = — J A:»
dx ~ ^ dk'
^^^^( I^3^'^I ZLl^^^\f 1I..X
et, en substituant,
S04. L'équation différentielle de Laplace
fiQUATIONS LINfiAIRES^ a53
OÙ les /, g sont des constantes, peut s'intégrer par un procédé tout semblable à celui qui nous a servi pour l'équation (i).
Posons, en effet,
1= 1 Ue»'flf«.
Le résultat de la substitution de cette intégrale sera
f[R(u) 4- Q(«)^] Ue'*' du.
en posant, pour abréger,
Q ( « ) — ^a" -4- ^1 ««-» 4- . . . 4- ^„ , Si nous déterminons ici encore U par la condition
d'où
R(")U-^UQ(a),
rintégrale précédente se réduira à
Çd.\}q{u)e'''=Çd\.
Elle sera nulle, et Ton obtiendra, par suite, une intégrale de l'équation proposée, si l'on choisit pour L un contour fermé tel que V reprenne sa valeur initiale quand on revient au point de départ ou une ligne telle que V s'annule à ses deux extrémités.
Soient
a, 6, c, • . • les racines distinctes de l'équation Q = o,
m leur nombre ;
A, B, C, . . . les lacets correspondants.
a54 TROISIÈME PARTIB. — CUAPITRR II.
On obtiendra m — i intégrales en prenant successivement pour L les contours
