ABA-»B-S AGA-«C
Si l'équation Q = o a des racines multiples, soient a Tune d'elles, [X son ordre de multiplicité : on obtiendra, comme au n^ 194, |A — I nouvelles intégrales, en prenant pour L des contours partant du point a et y revenant dans des directions convenables.
Enfin, soit X le nombre des racines infinies de l'équation Q = o (ce nombre pouvant être nul); on aura
«I . «t . . Pi
u — a {u — ay '' u—b et, par suite,
/ TT. dlt + UX
le facteur 0 restant fini pour u =oo.
On verra, comme au n° 195, qu'il existe X + i intégrales correspondant à des lignes L ayant leurs deux extrémités à l'infini.
Ce résultat subsistera, même si ). = o, auquel cas V serait de la forme
Les X 4- 1 intégrales ainsi obtenues, jointes aux précédentes, compléteront le nombre des intégrales requises pour former l'intégrale générale.
205. Nous allons appliquer la méthode précédente à l'équation
, . dn ^ ,dl .
ÉQUATIONS LINEAIRES. ^55
On aura, «Jjns ce cas,
R(tt) = (a/n-i)w, Q(w) = ii*-hi,
|^^rf«z=(n + i)log(u'-Hi).
Nous aurons donc, comme solution de l'équation proposée, l'intégrale
y<?«J^(£/«-+-i)'*''«é/i/, pourvu que l'expression
prenne la même valeur aux deux extrémités de la ligne d'in* tégration.
206. Avant de procéder à l'étude des solutions fournies par celte intégrale, il convient de donner quelques explications sur les fonctions eulériennes, lorsque leur argument est une quantité complexe quelconque.
La définition de T(z) par un produit infini n'est soumise à aucune restriction; elle donne, pour toute valeur de z, une valeur unique et déterminée de T{z)^ laquelle est toujours différente de zéro et reste finie, sauf pour les valeurs entières et négatives de z, pour lesquelles elle est infinie du premier ordre. Mais, pour qu'on puisse considérer T(z) comme fonction de la variable imaginaire z^ il faut encore établir qu'elle a une dérivée.
Or T{z) est un produit infini ayant pour facteur général (t. I, n«(325)
Donc logr(;s) sera donné par une série infinie S ayant pour terme général
log/i--log(/i-hs) -hzlogin -m) — z\ogn.
Prenant les dérivées des termes de cette série, nous aurons
256 TROISIËHE PARTIE. — CHAPITRE H.
une nouvelle série S' ayant pour terme général
^ -i- log(/i -+- 1) — log/i.
Mais on a
log(n -4- 1) — log/i = r -^ = ^
Q;, étant une quantité comprise entre o et i.
Le terme général de la série des dérivées sera donc
n-^-z «H- On ('ï + s) (/i -hOrt) et son module aura pour limite supérieure la quantité
Z désignant le maximum du module de z dans la région où l'on considère sa variation.
Les quantités Â/i ne dépendent plus de z et forment une série manifestement convergente. Donc la série S'est uniformément convergente dans la région considérée et sera la dérivée de logr(>5). Donc r(^) = e'**''^' aura lui-même une dérivée égale à S' r(z).
S07. La définition de r(z) par Tintégrale définie
r(s)= n e-'t--^ dt
est bornée au cas où z est réel et positif. Mais il est aisé de la modifier, de manière à obtenir une expression de r(^) en intégrale définie applicable à toute valeur de z. Considérons en effet l'intégrale
e-tiz-i dt
prise suivant une ligne L partant de Tinfini positif et y re-
venant, après avoir entouré Torigine dans le sens direct, comme l'indique \dijig» 4*
Pour définir complètement cette intégrale, il faut préciser
quelle est celle des déterminations de la fonction /*~* que
Ton adopte. Soit
t=: p(cosïp -h i sincp);
on aura, par définition,
Pour chaque position du point ^, p est complètement déterminé; mais l'argument cp n'est connu qu'aux multiples près de '^u; suivant celle de ces valeurs que l'on adopte, celle de <*""' variera.
Nous prendrons pour valeur de cp celle qui varie de o à 27c lorsque t se meut sur la ligne L. On aura, dans ce cas,
En eff'et, les deux membres de cette égalité sont des fonctions continues et uniformes de z. On sait que deux semblables fonctions sont égaies dans tout le plan dès qu'elles sont égales le long d'une ligne déterminée. Il nous suffira donc de montrer que l'égalité a lieu pour les valeurs réelles et positives de z.
Dans ce cas, la ligne d'intégration L peut être déformée de manière à se composer ; i° de l'axe des ^, de 00 à e, J. — Cours, III. 17
*258 TROISIÈHK PA^HTIE. — CHAPITRE II.
€ étant une quantité infiniment petite; a" d'un cercle de rayon e décrit autour de Torigine; 3" de Taxe des j? de c à 00.
Si e tend vers zéro, l'intégrale rectiligne / aura pou;
limite
où l'on prendra pour t^~^ sa valeur réelle.
Cette intégrale est égale à — r(s).
L'intégrale suivant le cercle est nulle. Enfin l'intégrale de •retour sera
z-i) r e-H^-'^dt — é^'^'^T(z).
parce que la rotation autour de l'origine a multiplié t^~^ par le facteur e2iri<z-o gan/z.
L'égalité est donc démontrée.
