Dans le premier cas, les intégrales définies

(i5) j^<p(a, P, ...)/i<^^^?---» !§?(«, P> ••O/îC^ac^P-.-, .••

donneront une nouvelle solution, quels que soient le champ de l'intégration et la fonction f (a, ^, . . .). En effet, il est

clair que le résultat de la substitution de ces intégrales, dans l'une quelconque des équations (ii) ou (la), sera

(16) |J(p(a,p, ...)Mrfaûf?...,

M désignant le résultat de la substitution de/i , /t, .... Mais M est nul, par hypothèse : donc Fintégrale (i6); ayant tous ses éléments nuls, sera nulle elle-même.

Cela posé, nous tâcherons de déterminer le champ de rîntégralion et la fonction arbitraire (p, de telle sorte que la solution (i5) satisfasse aux conditions (i3). Si nous y parvenons, nous aurons satisfait à toutes les exigences du problème.

293. Dans le deuxième cas, on substituera successivement dans la formule (i4)) pour les paramètres a, P, • . . , les divers systèmes de valeurs dont ils sont susceptibles ; on obtiendra ainsi une suite illimitée de solutions

Nous obtiendrons une nouvelle solution plus générale en posant

(17) v,=:c'v;-hc'v;H-..., v,=c'v;-f-c'v;-i-..., ...,

</, c", . . . désignant des constantes arbitraires.

Il est clair, en effet, que le résultat de la substitution de ces valeurs dans l'une quelconque des équations (i i) et (12) sera de la forme c'M'h- c*^M" + . . . , M', M", ... désignant les résultats respectivement obtenus parla substitution des diverses solutions simples. Or M', M", ... sont nuls, par hypothèse; donc c'M'-|-c"M''-i-... le sera, et les séries (17) donneront une solution.

Il restera à déterminer les coefficients arbitraires </, c'', ..., de telle sorte que ces séries soient convergentes et satisfas* sent aux conditions (i3). Le problème sera dès lors résolu.

Nous allons éclaircir cette méthode par quelques exemples.

38o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

294. Propagation de la chaleur dans un milieu indéfini, — On a à intégrer l'équation

jointe à la condition initiale

U =/(j?,/, -s) pour f = o.

L'équation (18) admet évidemment comme intégrale particulière l'expression

U'= cosM(a: — X) cos ('(/ — fi) coswC^ y) g-(«»-K''«-»-«i''i««/^

u, i^, Wf X, |x, y étant des constantes arbitraires. Elle admettra donc comme solution l'intégrale