MO

V— / / \]'dudvdiv,

VA •/a t/o

laquelle est le produit des trois intégrales simples

Jf e-"'"'' cos w (a: — - X )du^

re-«"*''' cos(^(/ — ^)dvy

Les intégrales sont aisées à calculer. Nous avons trouvé, en effet (t. II, n« 165), la formule

/ e-'^y^ cos 2 bydy =: { V'^a * c * .

Changeant dans cette formule^ en m, a en a^/, 6 en — ; — > il viendra

I ^-«•«•'cosaCa? — X)c?tt = {v/^ y=^"

Calculant de même les deux autres intégrales, il viendra

<£z2il! (y-y-)* c-v)»

V' = iz'- -^ ^ ^- p..

2a ^t OLasJt ia\/t

L^ntégrale

sera encore une solution.

Cette expression peut se transformer en posant

X — J7 jx — y

2a^C 2a\'t 2a\ft

Il viendra

Cette valeur de U se réduit pour ^ ^ o au produit Atf{x^y^ z) par les trois intégrales simples

Mais on a

e-«'rfot = i

(t. II, n° 163); et de même pour les deux autres intégrales. L'expression U satisfera donc à la condition initiale

U = /(^,j, s) pour ^ = 0

et sera la solution du problème.

295. Propagation du son dans un espace indéfini. — On a Téquation aux dérivées partielles

avec les conditions initiales

dl] -, l pour t=zo.

On peut poser U = U'-f- U'', U' et U'^ étant les solutions obtenues en combinant à Téquation diflférentielle les conditions initiales

Calculons d'abord U'.

On voit immédiatement qu'on satisfait à Téquation aux dérivées partielles et à la condition initiale U'= o par la solution simple

U' = ces M sin art,

où nous posons, pour abréger,

M = u{a: — X) -h ^'(.v— jx)-*- «»(;; — >), r =1 y/a* -h i^^-h ir-.

On y satisfera plus généralement par l'intégrale ( f 9 ) V -^-^ — ces M si n art dX d^ ^/v du dv d\v,

F désignant une fonction de X, u, v, qu'on peut choisir arbitrairement, ainsi que le champ d'intégration.

Les variables i/, «>, w d'une part, X, [jl,v d'autre part, peuvent être considérées comme des coordonnées rectangulaires. Remplaçons u^v^w par des coordonnées polaires r, 6, cp, ajant pour centre l'origine et pour axe polaire la droite qui joint l'origine au point x — \ y — |J^, ^ — v. Remplaçons, d'autre part, X, u, V par des coordonnées polaires r',ô', <p', ayant pour centre le point x^yj z et pour axe polaire une parallèle aux z.

On aura

X = J? -h r' sînO' cos<p',

(imj' + /•' sin6' sin©', v=: 5 H- r'cosô';

M = a(j? — ^)-t-^(/ — P')-+- ^(^ — v) = rr'cosO, é/a rft' cfwp' = r* sin ^drd^ ch , d\d[Ld>^ = r'» sin 6' rfr' rfB' û^s'.

LMntégrale deviendra doiic

C F cos(rr' cos6) sin art r sin 6 dr d^ d/© r'* sîn6' dr' d^' d^' .

Supposons que le champ de rintégration soit pour Q et ¥ de o à TT, pour <p et ç' de o à 2tc, pour r et r' de o à oo.

Les intégrations par rapport à ^ et B pourront s'effectuer en remarquant que sin9ûf0 = — t/cosâ. L'intégrale deviendra

4^^ V F r' sin rr' sin art sin 6' dr' d^' d^' dr =r2ir V Fr' [cosr(r'— a/) — cosr(r'-f-aO] sm^' d^' d^' drdr'.

On pourra encore effectuer les intégrations par rapport à r et r' en appliquant la formule de Fourier

/ dvf^fm^o^\^{'^^x)d}^'^U{x-^o)^J{x^o)]

démontrée au t. II, n* 226.

Soit, en effet, à{r') une fonction égale à ¥r' quand r'^o et nulle quand r'< o. On aura

f dr l Fr* [cosr{r' -^ al) — cosr{r' -h al)]dr' =1 / dr I 6(r')[cosr(r' — a/) — cosr(r'-f- a^] ^''^ =:-[^{at-ho)-\-^{at-'0)] [^{— at -h o) -\- ^{— at — o)].

Cette formule suppose seulement : i** que la fonction ^ a une variation limitée entre — oo et -|- oo ou, ce qui revient au même, que Fr' a une variation limitée de ô à oo; 2** que rintégrale

r\^\dr'= r\¥r'\dr'

est finie. Si nous admettons en outre que la fonction F est continue, le second membre de l'expression précédente se réduira, si f > o, à tz ^(at)y car ^( — at) sera nulj si t <o, il se réduira à — 7c<|/( — at). Enfin, si ^ = 0, il se réduira à zéro.

On aura donc, pour toute valeur de tj

f dr I Fr' [cosr(r' — at) — cofi r{r' -h at)]dr'

z=i 7: at F {œ -^ at' sin ^' cos <p', y -h at' sin B' sin «p', z •+■ at' cos 6' ),

t' désignant le module de t.

iNous obtenons ainsi, en supprimant les facleurs coastanlâ, comme solution de Téquation aux dérivées partielles, l'expression

.îw ^"K

Ji I / F (d? -4- at' sin 6' cos <p', 7 -+- at' sin 0' sin <p', z -f- at' cos 6' )

Xsine'cfe'^»'.

Pour < = o, cette intégrale s'annule, et sa dérivée se réduit évidemment à

/ F(:f, j, v)sinO'rfO'fifcp'=4irF(^,/,«).

Nous satisferons donc à toutes les conditions du problème si nous posons

Nous obtiendrons ainsi, comme solution, l'intégrale dé-

finie double

IÎ1C x,1C

CJ'=: ^ / / r/i(a?-i-a/'5in6'co9<p', /-ha^'sinô'sinç', «H-ai'cosO')