Les équations linéaires, de la forme

P et Q désignant des fonctions de x seul.

L'équation ne change pas si Ton y remplace^ parj^ H- erj, T) étant une fonction de x définie par l'équation

Elle admet donc le multiplicateur -• On a effectivement

Intégrant, il viendra d'où

nda>=c.

La fonction auxiliaire i/\ qui figure dans cette formule est

a4 TROISltUB PAETIB. — CHAPITRE I.

une solution choisie à volonté de l'équation (6), qui ne diffère de la proposée que par la suppression du dernier terme. Cette équation s'intègre immédiatement en séparant les variables. Il viendra

d'où

logT) r3 / P rfo? -t- log Cl,

Pdx

C| désignant une constante arbitraire.

19. Un grand nombre d'équations différentielles peuvent se ramener aux types précédents par des changements de variables.

Considérons d'abord l'équation

dx ""•' \a'a?-h by -hc'J

Si ab* — ia' n'est pas nul, posons

ax -{- 6j -hc = $, a'jc -h by -\-c'=^r,;

d*où

a da^ -h b dy =: c^j a' dx -^ b' dy =i di\y

flfa? = A rfÇ 4- B c?7j, dy = A,'dl-h B' d^. L'équation transformée

sera manifestement homogène.

Soity au contraire,

a6'— fca'=o,

d'où

a'x-\- by -h c' = m{ax -h ^/-+-c) H- n.

ÉQUATIONS DIFPtRSNTIBLLBS 0RDINAI1B8. a5

Le second membre de l'équation proposée sera de la forme

«p(aa?-i- by-{-c).

Prenons ax -h 6^ + c = Ç pour variable nouvelle, à la place de x par exemple. On aura

dx=Z'-(dÇ^bdy)y

el l'équation transformée deviendra

on

Les variables sont séparées. On obtiendra donc^ en fonction de Ç par une quadrature, et l'équation

ax -\- by -\-c^r^\

donnera la valeur correspondante de x,

SO. L'équation de Bemoulli OÙ P et Q sont des fonctions de x, peut s'écrire

i— m dx

et se changera immédiatement en une équation linéaire, si l'on prend ^*~"* pour variable à la place àey.