Posons, d'autre part, comme au n
On a vu que P^*([jL)cos/n<{/, P^([ji) sinmti sont des fonctions Yn ; on satisfera donc à la fois à Téquation aux dérivées partielles et à la condition à la surface par les solutions simples
^-«V'/p«'(|x)cosmipF„(pp),
e-«V'P;;'(jx)sinm^;F,(/?p), et plus généralement par la série
2S2e-«V'P,7(li.)(A„,„pCosmd.-4-B,„„psinm^.)F„(/7p),
où les A, B sont des constantes arbitraires, et les sommations s'é tendant :
i® Celle par rapporta n, à toutes les valeurs entières de G à 00 ; 2® celle par rapport à m, aux valeurs entières de o à /i; 3° celle par rapport à />, à toutes les racines positives p de l'équation ^n{p') ~~ o.
334. Cherchons à déterminer les constantes A, B, de telle sorte que la série satisfasse à la condition initiale
(78) SSSP^(jA) A;„„p cosm^ -+- B^^p sin m^)F^(pp) —j ,
pour tous les points intérieurs de la sphère, c'est-à-dire pourp5o<r, [J15— 151, ^505271.
Soit m', n', // un des systèmes de valeurs associées des paramètres m, /i, /?. Pour déterminer ^m'ap'^i multiplions l'équation (78) par cosmli/dif et intégrons de o à 21t. Tous
les termes du premier membre donnent une intégrale nulle, sauf ceux qui contiennent cosmf^. On a, pour ceux-ci,
f cos«in'4' d^ = X,„ t:, l^' = [' ^ ^, ^' il viendra donc
/cos/n'4^ûfii;=:i:sP^'(|jL)A,„'„pX;„'7îF(;?p).
Multiplions cette égalité par Pî;V([x)rf(x et intégrons de — I à -^i. Tous les termes du second membre donneront une intégrale nulle (319), sauf ceux où /i = n\ pour lesquels on a
il viendra donc
/ /cosm'4P';((x) rfirfjx = 2:A„vpX„.icI?;.F(/>p),
la sommation ne s'étendant plus qu'aux valeurs de p correspondant à la valeur n' de l'entier n.
Multiplions enfin par p^F(/>'p)rfp et intégrons de o à r; tous les termes du second membre donneront une intégrale nulle, sauf celui oùp =/>', et l'on aura finalement, pour déterminer A;„vi>', Téquation
f f f /cosm'^PT(ix)p^F{p'p)MdiLdp
On trouvera, par le même procédé, pour déterminer ^m'n'p'j l'équalion analogue
nf /sinm'^Pr(I(A)p«F(;>'p)rf<l-rfîxrfp
44o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Substituons, dans la série (78), les valeurs que nous venons de trouver pour les coefficients, et accentuons les variables d'intégration, afin de pouvoir faire rentrer sans ambiguïté sous les signes d'intégration les facteurs qui leur sont extérieurs; nous obtiendrons comme valeur initiale de U l'expression
( xp''Fn{pp)F„{pp')dYdiK'dp',
335. Mais il reste à prouver que, en additionnant les termes de cette série triple dans un ordre convenable, on trouvera bien pour somme /(^, ui, p).
Laissons d'abord n elm constants, et bornons-nous à faire varier/? de manière à lui faire prendre successivement pour valeurs les diverses racines positives de l'équation
supposées rangées par ordre de grandeur croissante. Nous aurons à déterminer la valeur de la somme
(80) ^J^M0±p^p'*F„{pp)F„ipp')d?;
pour les valeurs de p comprises enlre o et r. Nous verrons qu'elle est égale à /(<{;', p.', p) [pourvu que cette expression, considérée comme fonction de p, soit continue et ait une variation limitée dans l'intervalle de o à r, quels que soient ^ et fx'].
La somme (79) se réduira dès lors à la somme double
SS/" f K^iP ^"^^^^^^^"^ ""'""^^ ~ ¥)dYdv.',
qu'on sait être égale ^/("^^ [Jt, p) [320].
Tout revient donc à établir ce que nous avons annoncé pour la somme de la série ( 80).
336. En cessant, pour plus de simplicité, de mettre en évidence les quantités ^', [x', n qui conservent une valeur constante dans toute cette recherche, cette expression peut s'écrire ainsi :
(80)' nç,'^,.,,>yjEL)iipn.
La fonction F{pp) satisfait à Téquation différentielle
et, comme elle est symétrique en p et/?, on aura aussi ^^'^ ^/''^^^+[/''p'-«(« + 0]F(/>p) = o. On a de même
En combinant ces deux équations, on trouve (o'*-p*)p*F(pp)F(pp')
en posant, pour abréger,
9(/>)=:/>'[f(/,p')^F(/>p).-F(/j?)|jF(/)p') = /)»[pF(/,p')F'(/,p)-p'F(/7p)F'(/,p')]. on aura, par suite,
(8a) F(pp)F(,,p') = ^-^;i;i^^-.
Nous avons trouvé d'autre part
K,, = H r^) 'liPT) F(pr)^p] .
Pour transformer cette expression, nous remarquerons qu'on a
ce qui permet de mettre K^^ sous la forme
et de donner à Fëquation à la surface
{dY{pr)
âr la forme suivante :
UF{pr) = o,
(84) ;,^!^+HrF(;>r)=ro.
Désignons par ^(p) le premier membre de cette équation ; l'identité
(85) p^I-^p^HrFipr) = HP), étant difTérentiée, donnera
Enfin, pour p = /*, Téquation (8i) peut se mettre sous la
forme •
à ÔFipr) , djipr) 87) {^àp^ dp "^^ dp
[/>V*— n{n-\-i)] F{pr) = o.
Tirons des équations (84), (86), (87) les valeurs de F(/?r), — 3^—^^ -T-p — 3^ — pour les substituer dans (83), il viendra
ÉQUATIONS AUX DÉniYÉES PARTIELLES. 44^
en posant, pour abréger,
p^r^ - n{n H- 1) — Hr(i — H>) — Q(jp). On aura, par suite,
F(/7p)F(/>pM 2Q(/>)o7/>)
337. Il est aisé de voir que celte expression est le résidu, pour le pôle z:=p, de la fonction
En effet, posons z =p -h h; on aura
Le résidu cherché sera donc
2?(P) r Q(.P)ViP) , ^„„^ ^Q(P)
Or la quantité entre parenthèses eslnulle. En effet, les équations (85), (86) et (87), résolues par rapport à -^-p — k — »
^I^, F(/>r), donnent
(j-nr)'!f(p)+p^'(p)
F{pr) =
QiP)
Substituons celte expression et sa dérivée dans Inéquation (84). Il viendra, en tenant compte de ce que ^(/?) est nul,
^l Qip) Q'(p) J
ou, en réduisant et divisant par ,^,^ \ «>
338. On remarquera d'ailleurs que, pour z = o, la fonction yj^z) n'est pas infinie, car ^{z) contient le facteur J5* qui figure au dénominateur. Donc y^{z) n'a d'autres pôles que les racines/?, et l'intégrale
'-ifxi^)d='
prise suivant un contour fermé quelconque situé à droite de Taxe des j^, sera égale à la somme
Kpp
bornée à celles des racines p qui sont contenues dans ce contour.
Les termes correspondants de la somme (8o)' donneront l'intégrale double
(88) f /<.?')?" dp' ^Jx{z)dz.
339. Prenons pour contour d'intégration {Jlg- 9) le rectangle MNPQ qui a pour sommets les points Bf, A-|-Bf A — B/, — B/, A étant une quantité réelle de la forme
où k est un entier, et B une autre quantité réelle, très grande par rapport à A. En faisant croître indéfiniment l'entier A", ce rectangle contiendra un nombre de racines de plus en plus grand; on obtiendra donc la somme (80)' en cherchant la limite de l'expression (88) pour A* =r 00,
Pour établir que cette expression a pour limite /(p), il nous suffira de faire voir : i® que l'intégrale
où b est une quantité variable entre o et r, reste constamment inférieure à une limite finie ; 2" qu'elle tend uniformément vers j lorsque k croît indéfiniment, tant que b restera
Fig. 9.
fi
inférieur à p — e ou supérieur à p -t- e, e étant une constante quelconque.
En effet, l'intégrale (88)' étant décomposée en deux autres, où l'intégration relative à p' s'étend respectivement de o à p et de p à r, ces intégrales partielles auront respectivement pour valeur (t. II, n° 221)
i/(P~o) et i/(pH-o).
446 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lil.
Leur somme sera donc égale à/(p), puisque cette fonction est supposée continue.
Nous remarquerons d'abord que '/(^) étant une fonction
impaire, les éléments de l'intégrale / '' ^^ . ^ prise sur le
côté MQ se détruisent deux à deux. En outre, '/(s) prenant des valeurs imaginaires conjuguées en deux points symétriques par rapport à l'axe des x^ le reste de la ligne d'intégration relative à z pourra être borné à sa moitié supérieure RNM, à la condition de doubler la partie réelle et de supprimer la partie imaginaire du résultat obtenu.
