V - f pour tz=o, a7'-4-^'-4- j5*< r

/étant une fonction donnée de a:, y^ z, et la condition à la surface

à^ àV o <^U ,„, , , , ,

3— cosa-h -T— cosQ-i--.r-cosY-4-IIUr=o pour a7'-|-v'-+-c' = r', âx oy dz ^

436 TEOISliSMB PARTIE. — CHAPITEB III.

a, P, Y étant les cosinus des angles formés par la normale extérieure avec les axes coordonnés.

Remplaçons ^, JK> ^ par des coordonnées polaires p, 6, ^. L'équation aux dérivées partielles deviendra (t. I, n^ 139).

^ ,/^ I d»U I ^'U 2^ cote d\]\

^^^^ de '~^ \dp^ "^p«sin*Ô d^* "^p« (?ô*"^p dp "^ p* â^J

La condition initiale prendra la forme

(78) U— / pour tz=zo, p<ry

et la condition à la surface deviendra, en remarquant que

Ton a

â^' « ây dz

cosazzi--— , cosBiiz-^, cosy = rr-,

up àp ' dp

(74) —. l-HUi=o pour p=zr.

332. Pour déterminer une solution simple qui satisfasse aux équations (72) et (74)» posons

Uirze-«V'Y„R,

p désignant une constante. Y» une fonction de Laplace et R une fonction de p. Ces équations deviendront, après qu'on aura chassé les dénominateurs et supprimé les facteurs communs,

//R (76) -1 — i-HRz=o pour p=zr.

L'équation (76) rentre dans la catégorie de celles que nous avons ramenées à l'équation de Bessel (191). Elle admet, comme solution particulière l'expression

iPP) 'J i(/^P)

ÉQUATIONS AUX DÊRITÉES PARTIELLES. ^Sj

que nous désignerons par F«(/?p). Cette fonction est le produit de p'^p'^ par une série, procédant suivant les puissances entières de p^p^.

Il reste à satisfaire à Téquation aux limites (76). Il faut pour cela que p soit une racine de l'équation transcendante

^ ^ H F„ {pr) = o.

Le premier membre de cette équation est évidemment une fonction entière de jd* si n=o] une semblable fonction, multipliée parp", si n^o; supprimant, dans ce dernier cas, la racine parasite /? = o, qui ne fournirait qu'une solution identiquement nulle, nous obtiendrons dans tous les cas une équation de la forme

La fonction Fn{pp) s'annule évidemment pour p = o si /i>o; et, si n = o, sa dérivée s'annule; on aura donc, dans tous les cas, en désignant par/7 et q deux valeurs quel- <;onques du paramètre/?.

F„(îP)'-^-F„(;,p)^>=o pour , = o,

et la même relation aura lieu pour p = r, si /? et q sont racines de l'équation (77).

L'équation (76) est d'ailleurs un cas particulier de l'équation (36) considérée aux n°' 306 et suivants, dont elle se déduit en remplaçant V, :r, r, X par R, p, p^, ' et donnant à k^ g^ l les valeurs particulières p*, p^, 7i(/i-l-i). On en conclut :

1° Que les valeurs de p^ qui satisfont à l'équation G5n(p^) = o sont toutes réelles, positives, inégales et en nombre infini;

2® Qu'en désignant par p^, gr^, . . . ces racines, l'intégrale

va

438 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE Ilf.

sera nulle, si /?" diffère de q^\ soit, au contraire, q z=:i p\ on

aura

L dp* dr ^^'^^^'^^ ârdj^' J

""'i/^L dp dr '^'^yP') Or dp J