Supposons donc 6> v-* Pour déterminer dans ce cas

la valeur limite de l'intégrale, il ne suffira plus d'assigner comme on l'a fait jusqu'à présent, une limite supérieure à son module; mais il faudra analyser avec plus de précision la nature des facteurs de ^(^s).

Considérons d'abord le facteur

<p(x;) = ^«[pF(p^-)P(p^)-p'F(p^)F(p'xî)].

Substituons aux fonctions F(pz), . . . leurs valeurs

45a TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE III.

il viendra

!5in(p'5— X)cos(p5 — X)[a«p'-i-D] \ -cos(p'^-X)sin(p^-X)[at«?-+-D'] ( -f-sin(p'^ — X) sin(p5 — X)D'' -hcos(p's — X) cos(p5 — X)D*'

chacune des quantités D, D', D'', D'" étant une somme de iractions simples, de la forme

En faisant usage des formules

• // ix / ^^ sîn|"(p -HpO-ï — 2X]H-sin(p' — p)-8 8m(p'5 — X)cos(p>s — X) zn ^-^ 5—^ ^^—>

on peut mettre cette expression sous la forme

cos(p'— p)^ E'' -+- cos[(p' + p)-5 — 2X]E'

E, E', . . . étant de la même forme que D, D', ....

D'ailleurs, pour p' = p, ff{z) s'annule identiquement; donc E', E", E'" s'annulent. Si donc une de ces fonctions contient la fraction simple

su

elle contiendra son associée

^.V r,'V .fl-f-V+l'

Celte fraction, ajoutée à la précédente, donnera un résultat de la forme

On aura donc

F', F'', F''' étant des sommes de fractions simples, de la forme

fpY

Substituons, dans les arguments des lignes Irigonométriques, la valeur ^ = A-f- /i et séparons la partie réelle de la partie imaginaire au moyen des formules d'addition. Remarquons enfin que 2X ne diffère de arA que par un nombre impair de demi-circonférences: il viendra

fP f ^"■' L-( cos(p'- p)A sin(p'- p)ti] I 2 ^P ^^ P^ ^ "^J

r- cos (a/- -p-p') A sin(p'+p)<n /a' A

L sin(2/- — p — p')Acos(p'-i-p)/fJ^P ^\2 J

J cos(p^p)Acos(p'-p)/n ,