L- sin(p'— p)Asin(p'— p)<<J

^r eos(ar-p p')Acos(p^4-p)jn ,

L— sm(2r — p — p')A sid(p'-j- p)/ij "^

344. Chacune des fractions simples qui figurent dans E. F', F", F"'', considérée comme fonction de p' et de /, est de la forme

, où V >• |X,

Elle peut s'écrire

Chacun des termes de cette somme est le produit d'une puissance de if par une fonction de p', A, f, continue, réelle et positive dans tout le champ d4ntégration. Cette fonction sera croissante de p' = p à p' = 6, si 6 <^ p. Si 6 > p, on pourra ia décomposer dans la différence des deux fonctions partielles

I d sy-"^t"*^ / I I \ d Psy-^t"^

et

pi^ {h}-^t^y X^v- p'v-j (A^H- ^«)

également continues et positives, dont la première ne varie pas avec p', tandis que la seconde est croissante de p kb.

D'ailleurs A et ^ étant au plus égaux à y/A^H- t^ et p' au moins égal à r- dans tout le champ d'intégration, le module de la fonction considérée aura pour limite supérieure

et, si & >- p, les modules des deux fonctions partielles dans lesquelles on la décompose seront moindres que

Ces diverses fonctions tendent donc uniformément vers G pour A = 00, quels que soient p' et t. D^autre part, la fonction

Q{z) /^(^-4-') + Hr(i^Hr)

est de même égale à r^, plus la somme de quatre termes^ dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction positive de ^ et de A, qui tend uniformément vers o pour A = 00, quel que soit t.

On a enfin

^*{z) = a« ces' rti{i -h M -i- M' tangra' -h M' tangVa*).

Chacune des fonctions M, M\ . . . , étant une somme do termes de la forme

s'exprimera par une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction continus et positive de t et de A, qui tend uniformément vers o pour A = 00.

D'ailleurs, tangr^f' est le produit de i par une quantité comprise entre o et i . On aura donc

i-h M -f- M' tangrii -h M' tangV/i = i -f- P -f- P7 — F'— P'i;

P, P', P", P'' étant des fonctions continues et positives qui

EQUATIONS AUX DÉRIYfiES PARTIBLLBS. 4^^

tendent uniformément vers o pour A = oo, l'expression

H- M -f- M' tang A^t + M' tang« rti "" (i-hP~P')»-h ( F— P' ») sera évidemment une fonction de même forme.

345. Réunissant les résultats précédents, on trouve pour rintégrale cherchée

{-f r?'*x{k^ti)dtdf'

l'expression suivante

sin(p'-- p)A , , r* cos(p' —

r\os(p---p)A^p-r;i"(p^-p;^^p-rA4--^1^/

/ sm (2 r — p — p') A efp' / — >^ - ^ — p' -% — ^ ûf^

— / cos(2r— p — p')Arfp' / ^, — P^ ^«^

H-/ cos(p'— p)Ae/p' /

cos(p'— p)a' R,^^^

ces' /-^i

sîn(p'— p)^i ^,Ro^^

ces* rti

-T sin(p'-p)Arfp'r

- hin(.r p-p')Arfp' r !i!l(^l-fliip'-^rf.

R, R{| R2, Rs étant une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction de p', t^ A, continue, positive et bornée, laquelle croît (ou tout au moins ne décroît pas) lorsque p' varie de p à 6, mais tend uniformément vers zéro quel que soit p pour A = oo.

D'ailleurs p' et -7-^- — sont des fonctions de p', finies et con-

tinues; elles sont croissantes de p à 6, si 6^ p; dans le cas contraire, elles sont la différence de deux fonctions finies, continues et non décroissantes

p'znp — (p — p'),

p-hp' 2 \2 pH-

Enfin, les fonctions cos(p' — 9)th — i — -, ^^ sont

croissantes de p à 6.

Donc chacune des intégrales relatives à t^ qui figurent dans la formule précédente, porte sur une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction de p', A, t positive, bornée et continue, laquelle ne décroît pas lorsque p' varie de p à 6, mais tend uniformément vers o pour A=oo (à moins qu'elle ne soit indépendante de A, ce qui arrivera pour les termes des quatre premières intégrales qui ne proviennent pas de R et de R|).

L'intégrale de chacun de ces termes, prise par rapport à./, sera manifestement le produit d'une* puissance de i par une fonction de même forme, que nous désignerons par /(P',A).