Lignes géodésiqiies, — Supposons que la lig^ne de
longueur minimum à mener entre les points {xq^ yo, Zq) et
(Xi,yiy Zi)^ au lieu d'être située d'une manière quelconque
dans l'espace, soit assujettie à être tracée sur une surface
donnée
^{x,y,z)=:zo.
Nous avons à rendre minimum l'intégrale / ris y x , y, z
étant astreints à la condition ^ = 0, Il faudra, pour cela, chercher le minimum de l'intégrale
K - - / (y/^'2-^y2^ z'^ -^ >^) fit.
On aura
H, M, N, P ayant les mêmes valeurs que dans le problème précédent. Les équations différentielles à joindre à l'équation 4 = 0 pour déterminer la courbe cherchée et l'inconnue auxiliaire X seront donc les suivantes ;
cl v'
dx
ày
Or -— -, -y-) -~ sont proportionnels aux cosinus directeurs de la normale à la surface ^; mais, d'autre part,
— ) • • • sont respectivement proportionnels
dt yj^j^j-i^yt^z'^ ^ ^ ^
aux cosinus directeurs de la normale principale à la courbe cherchée (t. I, n^483). Les équations (21) expriment donc cette propriété géométrique de la courbe cherchée, que sa normale principale se confond avec la normale à la surface sur laquelle elle est tracée.
Les lignes définies par cette propriété se nomment lignes géodésiques.
368« Il est généralement avantageux, dans l'étude des lignes géodésiques, de représenter la surface considérée non plus par une équation entre x^ y^ z, mais par un système de trois équations, donnant Xy y y z en fonction de deux paramètres M,i^. On aura, dans ce cas, pour ds, une expression de la forrre
ds — v^M du^-^ 2 ^~du dv-^P dv^ .
Une ligne tracée sur la surface sera définie en joignant aux
49^ TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE lY.
équations de la surface une nouvelle relation donnant u en fonction de p.
Si Ton fait varier la fonction u sans changer les extrémités ^0) ^0 9 ^i9 ^\ de cette ligne, on aura, pour la variation de l'arc, l'expression
2ds
Intégrant par parties le terme en d^u et égalant à zéro ce qui restera sous l'intégrale, on obtiendra l'équation différentielle des lignes géodésiques sous la forme
(22) ~^— du^ -h 2 -T— du dif -{- -c— dç^ := 2 ds d y •
au du ou ds
Cette équation du second ordre peut être remplacée par un système de deux équations simultanées du premier ordre entre u, v et l'angle 6 formé par la tangente à la ligne géodésique en chacun de ses points avec la tangente à celle des lignes V r^ const. qui passe par ce même point.
A cet effet, considérons le triangle infiniment petit formé par les points A, B, C, dont les coordonnées sont respectivement e/, v; M, ç-\-d{>; u-\-du^ i^-i-dv; on aura sensiblement
AB = P dif\ BC == M du\ AG = ds\
ACB = ô, ABC - iï — o) ;
Cl) désignant Tangle des deux lignes u et v qui se croisent au point A.
On aura, par suite, en appliquant les formules connues de la Trigonométrie,
û&' =r M du^ -h P dv^ H- 2 v/MP du dv cos w,
d'où
N . i/MP — N»
cos (0 ^= , siD a> -= ' — *
V/MP v/MP
CALCUL DES VARIATIONS. ^gi
puis
sinco sinÔ '
d'où
(23) dssin(^=^ -= cfp
yM
et enfin, en projetant le triangle sur BC,
(24) ds cos6 = i/M du h- \/P dv cosco = -^
La division membre à membre des deux dernières formules donnera , ^, ^ Mdu-hNdv
(25) cote = -j-:^ -- . — .
\J^\P^^l^dv
Il ne reste plus qu'à transformer l'équation (22). On aura
, ,Mdu-\-^dv 2dsa —
ds =z 2dsd\/Mcos^
dv 1 =: 2 \/M ds siïi 6 <fe*
= ( -;r— du 4-
\du dv J ^M
Remplaçons ds cos^ et ^<ssinB par leurs valeurs, substituons dans (22) et réduisons ; il viendra
ôN , dP , ^M ,
