f- 85 -f- ^ ^^z H- .... , . . . , et, par suite, <p en où
àf '^ dy "^ dz
Ainsi ûf conserve la même forme que si y^ z étaient donnés directement en fonction de a:; mais les variations suivantes seront modifiées par l'adjonction de nouveaux termes en S^^', 8V, ....
350. Proposons-nous maintenant de déterminer les variations successives d'une intégrale définie
Changeons y^ z en j^ -|- 8;^, z-\-Zz, • • • ; Ç sera transformé
en
*(ar, e) =z <p -t- 8(p -h i û«(p 4- . . .
et I en
Séparant les termes affectés des diverses puissances de e, il viendra
— f 8«p dx, 8*1 -- / 8*<p dxy
• Ce résultat suppose toutefois que les limites Xq^ X\ de l'intégration sont des constantes fixes. Si nous admettons qu'en
46a TROISIÈME PARTIE. ~ CHAPITRE IV.
môme temps qu^on altère les fonctions ^, Zj . . . on accroisse Xqj Xi de' quantités infiniment petites ix^ = e^O) ^<^i = ^iit I subira de ce fait une nouvelle altération A'I, égale à
(4) / (<p4-S'f 4- }-o«(p-h...)^^— / (îp-i-8<P-4-...)<ir.
Cbacun des termes de cette expression peut se développer sans peine suivant les puissances de e. En eflet, considérons, par exemple, le terme
' r ^^9dX,
La formule de Taj'lor donne
[8*ç]i, . • . représentant les valeurs de 8*cp et de ses dérivées pour a? = JC| (^, y ^ . . . , 2, ... étant en même temps rem-
placés par les valeurs ^«, J'i, .-.; ^i, . • . qu'ils prennent pour
Multipliant par -r et intégrant de x% à a:|-{-8xi, il
viendra, pour valeur du terme considéré,
Chaque terme de Texpression (4) étant développé de même, on obtiendra, en réunissant ensemble les termes de même ordre en e,
Réunissant ces termes à Tautre partie de la variation déjà obtenue précédemment, il viendra, pour la variation première
CALCUL DBS VARIATIONS. ^63
del,
pour la variation seconde,
351. On peut arriver au même résultat d'une autre manière, en transformant Tintégrale
1 H- Al— / ^{Xft)dx
par un changement de variable, de manière qu'elle ait les mêmes limites Xq^ x^ que Tintégrale primitive.
Posons, en effet,
x — t-\-lt,
8/ étant une fonction arbitraire de /, affectée du coefficient e et assujettie seulement à se réduire respectivement à ùXq et 8x1 pour t^=x^ ti t=^x%] on aura
ou, en écrivant x au lieu de /,
I4- Al= /^ ^{x -h Bx, t) [dx -h d Bx]
= *8x-f-y--^ h. ..-+-/ * dx;
464 TROlSifeMB PARTIE. — CHAPITRE IV.
mais on a
(M* d^ dt^ I rf8*«p
'di-di^'d^'^l^dr'^'"'
Substituons ces valeurs dans Texpression de I+AI, et séparons les termes de même ordre en e; on trouvera, pour 81, 0^1, ..., les mêmes expressions que tout à Theure.
352. Nous venons de nous trouver conduits à faire varier non seulement l'expression de ^, 2, . • • en fonction de la variable indépendante x^ mais cette variable indépendante elle-même. Cette considération nouvelle peut devenir néces saire, lors môme que les limites ^o, x^ restent fixes.
Considérons, par exemple, Taire comprise entre Taxe des x
Fig. 10.
X% Xi
et la courbe figurée en ligne pleine par la Jig. lo. Elle sera représentée par l'intégrale
J ydx,
où 1 on donnera à :r la série des valeurs successives qu'il prend lorsqu'il décrit la courbe, y désignant l'ordonnée correspondante.
Considérons une seconde courbe infiniment voisine de la première et ayant les mêmes extrémités, par exemple celle
que la figure représente en pointillé, et proposons-nous d'évaluer raccroissement de Taire lorsqu'on passe de la première courbe à la seconde. Pour opérer ce changement, il ne suffira pas de faire varier l'ordonnée de chaque point de la première courbe en laissant l'abscisse constante; car il y a sur la seconde courbe des points auxquels ne correspond, sur la courbe primitive, aucun point ayant la même abscisse. On pourra, au contraire, passer aisément de la première courbe à la seconde, en altérant un peu les abscisses en même temps que les ordonnées.
353. Cela posé, l'objet principal du calcul des variations est la solution de la question suivante :
Les fonctions j^, s, . . . , qui figurent dans l'intégrale I, et les limites Xq^ x^ étant indéterminées en tout ou en partie, achever de les définir, de telle sorte que la valeur de l'intégrale I soit maximum ou minimum.
D'après cet énoncé, si l'on donne ky^ z, . . ., x^y x^ un système quelconque de variations infiniment petites Zy, S^, ..., Sj^o, Sj^i compatible avec les conditions imposées par l'énoncé du problème, l'accroissement
qui en résulte pour la valeur de l'intégrale devra conserver constamment le même signe (positif ou négatif suivant qu'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum).
Or, e étant infiniment petit, l'ensemble SI des termes du premier degré sera prépondérant et donnera son signe au résultat. Si d'ailleurs on admet (ce qui aura lieu très généralement) qu'à chaque système de variations 3^, 8^, . . ., S^o? 8^« compatible avec les conditions du problème, correspond un second système de variations — 8^, — S<3, . . . , — 8j:o> — Z^\ jouissant de la même propriété, ce nouveau système de variations donnera à I l'accroissement
J. — Cours, III. , 3c
qui sera de signe conlraire au précédenl, à moins qu'on n'ait 81 =: o.
Nous obtenons donc cette première condition pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum :
La variation première 81 doit s* annuler pour tout système de variations hy, 8z, ..., 8^q, 8:r< compatible aifec les conditions du problème,
354. Cette condition détermine, en général, ainsi que nous le verrons, ce qui reste d'arbitraire dans la définition des fonctions j^,>3, ... et des limites ^Tq, j?«* Mais elle n'est pas suffisante. Il faudra en effet s'assurer que, après avoir ainsi déterminé ces quantités inconnues, Taccroissement de I pour une variation infiniment petite (compatible avec les conditions du problème) conservera toujours le même signe; d'ailleurs, SI étant nul, cet accroissement se réduit à
Le terme prépondérant de ce développement, ^8^1, ne devra donc pas changer de signe, quel que soit le système de variations que l'on adopte parmi ceux qui sont admissibles. Cette seconde condition sera évidemment suffisante si ^8^1 est toujours différent de zéro. Mais, s*il existait un système de variations qui annulât 8^1, il n'y aurait ni maximum, ni minimum, à moins que ô^'I, qui est d'ordre
impair, ne s'annulât en même temps, auquel cas il resterait à discuter le signe de 8*1, etc.
Nous nous bornerons, dans cette Section, à tirer les conséquences de la première condition
Oi=8Izz: [©], Sa?, — [<p]o^«27oH- / ^ffdx. 358. Posons, pour abréger l'écriture,
ày^ ' df-^'' • ' âz^^' dz'-^''
CALCUL DES yARIATIONS. tfirj
Nous aurons, d'après la formule (3),
valeur qu'il faudra substituer dans l'intégrale / 8© dx.
L'intégration par parties permet de transformer cette expression en faisant disparaître sous le signe / les variations des dérivées j>^', . . . , y'^y ^', . . . , 5", . . . . En effet, considérons, par exemple, le terme
/ Ajt 8^* dx.
Nous savons que 8/* est la dérivée Ar*^™* de 8^; on aura donc
f A^8j*rfa?=[A*8y*-«-A';8j*-«-4.... + (-!)*-» A*-» 8^^.
-^r\-iYkilydx.
Opérons de même sur chaque terme de 8'^ et posons, pour abréger,
/ A — A;-h...-4-(— 1)"» AS =M, A, ^- a; 4- ... 4- (- 1)— « Ar ' = c,
Aj- a; + . . .4- (- !)'»-« KT^=C\
B,— b;4-...4-(— i)»-*Br' =D, B,- b; 4-... + (~^ !)'•-« Br* =Ds
468 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
il viendra
[c Sy -h c* 8y ' 4- . . . -H c»-' S/'^-n '•
-h I (MSy-i-N(Î5 -H...)rfa?.
Cette expression doit être nulle pour tous les systèmes de valeurs admissibles des variations 8/, 8z, . . . , 8^09 8^4.
356. Supposons d*abord que ces variations puissent être choisies d'une manière entièrement arbitraire. On pourra poser, en particulier,
Sa^o - S^i -- o, Sj — eô' M, Bz .- eô* N,
0 étant une fonction quelconque de x, qui s'annule pour jj = a:(> et pour x ^=:Xi^ ainsi que ses dérivées successives, jusqu'à un ordre égal au plus grand des nombres m — 1, n — I , .... Pour ce système de variations, les termes tout intégrés de 81 s'évanouiront, et l'on aura
Cette intégrale, dont tous les éléments sont positifs, ne pourra s'évanouir que si l'on a
ce qui réduira l'expression de 81 à la partie tout intégrée
— Fçlo 8^0
[C 8/ -h C^ 8/ + . . . -h G'»-* ^y'n-i'ix, -f-D85-4-D»8c'-f-...4-D»-» 8;;»-» j H- [<p,] 80?, -.[ç]
= Cl 8j^, -t- C} 8j; 4 . . . H- CT»-» 87?»-» 4- Di 8c, 4- ... -^ Dj-» s^;-» --
-Co87o-Ci8y,~...-Cr*Ô7r^-Do85o-...-D;-*85r'- -i-[<p]i8a7i— [<p]o8^o»
que nous désignerons par H.
Les diverses variations qui figurent dans cette expression
sont évidemment des arbitraires indépendantes. Donc, pour que 81 s^annule identiquement, il faudra qu'on ait encore
.p. l G| = 0, G} = o, ..., Co^-^O, ..., DJ~* m o, ..., 1 Wi — O, [^]o '- O.
Les équations
o — M = A — a; -h . . . -f- (— i)*" A^, <7) { o = Ni:^ B — B;-^...-+-(— 0» B2,
sont des équations différentielles entre x et les fonctions inconnues jk, 2.
La première contient les dérivées de j', z, ...jusqu'à Tordre 2 m, 71 + /w, ... respectivement. La seconde les contient jusqu'à l'ordre /n-j-/i, 2/i, ...; et de même pour les suivantes si le nombre des fonctions^, \3, ... surpasse 2. Ces équations forment donc un système d'ordre 2/n 4- 2n -r ... en général, et donneront y, Zj ... en fonction de x et de 2m -|- 2 71 H- ... constantes arbitraires «i, aj, ....
En substituant ces valeurs dans les 2-f-2m-f-27i-f-... équations aux limites (6), on aura le nombre d'équations nécessaires pour déterminer les constantes d'intégration et les limites x^j x^. Le problème est donc en général déterminé.
357. Jacobi a montré que le système des équations diCTérentielles ( 7 ) peut être ramené à un système de 2 /w -t- 2 71 -h . . . équations du premier ordre ayant la forme canonique.
Supposons, en effet, pour fixer les idées, qu'on ait deux fonctions inconnues y, z. Prenons pour inconnues auxiliaires les quantités ^, . . . , y'""' , z'^ . . . , z""*, C, C*, . . . , G"*""*, D, D*, . . . , D""* ; on aura, par définition,
dx-y^ '•'' dx '^ '
470 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
D'autre part, la diflTérentiation des équations (5) donne immédiatement (en remarquant que M = N = o)
dx~ ' "' dx '" ' '
cl, si Ton lire des équations
(lO) A^.^zG'"-», B;,=:zD«-*
les valeurs de y^^ z'^ pour les substituer dans les équations (8) et (9), on obtiendra, entre x et les nouvelles variables j^, y, "y 7""'*;^, ...,z''-«;C, ..., G"*-*, D, ..., D«-*, un système d'équations du premier ordre, équivalent aux deux équations primitives.
Ge nouveau système est canonique. Gon sidérons en eflel la fonction
Sa difTérentiation donnera
dV -z y^dx -h Ady -^ {X^ — O df -h . , .-\- {A„ — G"-» ) dy^
— / dC —y dC^ — . . . -7«« cC"-»
-^z' dD — z'dù^ —,,,-- z" (fD«-».
D'ailleurs les coefficients de dy^ et de dz'^ dans cette expression sont nuls. On voit donc que, si Ton exprime U en fonction de a;, ^, . . . , y"^~^ ; z, . . . , >5'*~* ; G, . . . , G*""* ; D, . . ., D""*, en éliminant^*", z" au moyen des équations (lo), on aura
A=— -, •. , A, — G* *2=-— ;., ..., Bi^ -T-> •••> oy dy*^ oz
ce qui établit notre proposition.
358» Réciproquement, soit U une fonction quelconque de X et d'un nombre quelconque de couples de variables y^ 7); J5, Ç; ...; supposons ces dernières quantités fonctions de x^ et cherchons la variation de Tintégrale
en supposant qu'on les fasse varier. La portion de la variation qui restera sous le signe / , après l'intégration parparties, sera
et, en exprimant qu'elle est constamment nulle, on aura les équations canoniques
, dl.] , (9U
dy -^ d-t\
On voit donc que le problème d'annuler la première variation d'une intégrale et celui d'intégrer les systèmes d'équations canoniques sont entièrement équivalents.
359. Les résultats que nous venons de trouver subissent quelques modifîcations, lorsque les fonctions jk» 2, • • • et les limites x^j x^ ne sont pas entièrement arbitraires. Nous allons passer en revue les principaux cas que l'on rencontre dans les problèmes usuels.
i" Les fonctions y^ z^ ... sont encore arbitraires dans l'intérieur du champ d'intégration; mais il existe entre les limitesxo, j:, et les valeurs jk^/o? •••» JS*'*"» -0, -m^^'^ ...; Xi 1 • • • j y7~^ î ^j > • • • 1 5""* : . . . que prennent pour ces limites les quantités j^,^, ...,J^''""*; 2,5', ...,2«~«; ... une ou plusieurs relations
(II) +~o, X — o»
On aura encore, dans ce cas, M =:-r o, N -= o, ... ; mais les variations 8a?o, ^x^^ 8^0, ... qui figurent dans la partie tout intégrée de 81 ne seront plus indépendantes les unes des
47^ TROISifiMB PARTIR. — CHAPITRE IV.
autres, et chacune des équations (ii) fournira une relation linéaire entre ces variations.
En effet, changeons y^ z, ,. . en y -]- 8>', z 4- S^, puis Xq^ Xi en Xo-\-^Xoy Xt-\-hxi, Soient jKo "H AXo? yo~*"A>'o» ••• ce que sont devenus ^o» ^'o' • • • P^'' cette variation. Ces nouvelles valeurs, associées aux nouvelles limites Xq-^^Xq^ Xi 4- 8:C|, devront encore satisfaire aux équations aux limites tj; = o, y^ = o, .... On aura donc, en développant par la série de Taylor et s^arrétant aux termes du premier ordre,
dxo dx, dy^ ^"^ d/o *^"
Il ne reste plus, pour obtenir les relations cherchées, qu'à trouver Texpression de A^o> Ax'o» • • • c^ fonction de Sa:©, S^i, 8^0 y ^y'o'i * * " ^^ l'obtient aisément comme il suit. On a, par définition,
On aura donc, en négligeant les termes du second ordre, comme nous le faisons dans toute cette recherche,
Nous avons ainsi obtenu autant d'équations linéaires entre les variations Sxo, Sxi, ^y^, ... qu'il existe d'équations de condition i}^=:o, 'j^ = o, .... Soit j9 ce nombre. On pourra, au moyen de ces relations, éliminer p variations de l'équation
[?]iS^i--[?]oS^o
„^^ -Co87o-...-Cr»8/r* -+-D,85, 4-... h D?-» S^î"»
CALCUL DBS VARIATIONS. 47^
Les- 2 -J-2/W-I-2/H-... — p variations restantes étant entièrement indépendantes, on devra égaler leurs coefficients à zéro, ce qui donnera autant d'équations de condition nouvelles, qui, jointes aux équations ^ = o, ^ = o, ...» détermineront encore Xo', x^ et les constantes d'intégration.
On peut d'ailleurs opérer d'une manière plus symétrique en ajoutant à Téquation précédents les équations 8<j; z=z o, 8y^ = o, multipliées par des indéterminées X, [ji, . . ., et égalant à zéro les coefficients de chaque variation. Les 2-H2m + 2n-i-... équations ainsi obtenues seront les mêmes que celles qu'on obtiendrait en annulant la variation de I -h ^^ + [Jt'X + • • • "» ^ et [JL désignant des quantités invariables. En les joignant aux équations données (]/ = o, ^ = o, . . ., on pourra déterminer toutes les inconnues du problème, y compris les inconnues auxiliaires X, [x, ....
360. 2'' Les fonctions j>^, z, ... ne sont plus indépendantes, mais sont liées par des équations différentielles
Soit p le nombre de ces équations^ dans lesquelles pourront d'ailleurs figurer, outre les fonctions inconnues j', Zy ... et leurs dérivées, d'autres inconnues auxiliaires m, ... et leurs dérivées. (Le nombre de ces nouvelles inconnues devra toutefois être inférieur à celui des équations de condition.)
Les équations ij^ = o, ^ = o, ... feront connaître p des inconnues j^, >5, . . ., w, . . ., par exemple^, ... en fonction des autres -3, . . ., m, . . ., qui resteront indéterminées.
Cela posé, désignons par X|, ..., X^ des fonctions arbitraires de Xj que nous nous réserverons de déterminer. On aura évidemment, pour tout système de variations dey, z, ..., «, ... ; Xqj Xi compatible avec les équations ij^ = o, ^ = o, . . . ,
f f^dx—-hl (f -I- X,<}/ -h Xjx-H. . .)û^^;
474 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
car l'intégrale / (^« ^ + ^2/ -f- • .) dx étant identiquement
nulle, sa variation Test aussi.
La variation de l'intégrale
traitée à la manière ordinaire (sans faire varier les fonc* tions X), pourra se mettre sous la forme
8Kzr.H'-h f \m'87 -hN'ûc-f-...-f-P'8^/-^...)ûf;r,
ir désignant la partie tout intégrée et M', N' des expressions formées avec ^, 2-, . . . , w, . . . , X| , . . . , X^, et leurs dérivées. Déterminons les fonctions arbitraires )»|> •••7 X/> p^ir la condition d'annuler les coefficients des variations Sj^, . . . des variables dépendantes y^ . . .; SK se réduira à
et, comme les variations 8g, Se^, . . . sont arbitraires dans tout le champ d'intégration, on aura séparément
Nous aurons donc, pour déterminer y^ z et les fonctions auxiliaires T^f, ..., \p^ les équations diflérentielles simultanées
4; — o, X -Oy . . . ,
M'=rO, N' — o, ...; P'zrio,
Les constantes d'intégration et les limites x^^ x^ se déduiront de la condition 11'^= o. Celle-ci se décompose d'ailleurs en autant d'équations distinctes qu^il reste de variations indépendantes parmi celles qui figurent dans H', lorsqu'on a
CALCUL DBS VARIATIONS. 4? 5
tenu compte des équations aux limites
9 = 0, -j-- rrz o, . . . , pour j? z^. a?o et a? = a?| ; (i3) ( dx
qui sont des conséquences des équations <j; =r: o, y^ ^= o, lesquelles ont lieu identiquement pour toute valeur de x,
La série de ces équations aux limites devra d'ailleurs être arrêtée au moment où apparaîtraient, dans les dérivées successives de <J;, ^, . . ., des dérivées de y, z, , , .; w, . . . d'ordre supérieur à celles que contient H'.
On obtiendra donc la solution du problème proposé en égalant identiquement à zéro la variation de l'expression
Les équations ainsi obtenues, jointes aux équations
et à celles-ci :
déterminent toutes les inconnues du problème, y compris les multiplicateurs X, [x, v.
47 6 TROISifcHB PA.RTIB. — CHAPITRE lY.
361. 3"* Les quantités inconnues /, ^, . . -, ^o? ^4 sont assujetties à varier de telle sorte qu'une intégrale définie
K= / <K^, /,/, ...\z,z',.,.)dx.
prise entre les mêmes limites que I, conserve une valeur constante c.
Ce cas se ramène immédiatement aux précédents. Prenons, en efiet, comme inconnue auxiliaire, la quantité
u~~ t ^ dx.
Cette équation, qui définit u^ équivaut évidemment aux deux suivantes :
^' = 4^, w-=:o pour a: = a7o.
D'ailleurs, pour x^^ x^^u devient égal à c; on doit donc avoir
D'après le numéro précédent, nous aurons donc à annuler identiquement la variation de l'expression
^J (?~^^*-^ ^"j^-^-^- (fAo-+-^o)«o-+-(iXi— Xi)(a, — c),
7^0 6t X| étant les valeurs de X aux deux limites Xq et Xi .
Les termes qui, dans la variation de cette expression, dépendent de 8^/, Sf^O) S^o seront
On aura donc les équations
— =zo, iio-HAo^o, p., — Xi=ro;
CALCUL DES TARUTIONS. ^77
donc X est une constante, et la quantité dont on doit annuler la variation se réduit à
(<p H- X^)dx.
Les équations qui expriment que cette variation est nulle détermineront les inconnues ^09 ^o ^7 ^^ • • • 6u fonction de la constante inconnue X. Ces valeurs, substituées dans l'intégrale K, en feront une fonction de \ telle que /(k) ; il ne restera plus qu'à résoudre Téquation
On peut retrouver ce môme résultat par les considérations suivantes.
La variation de Fintégrale I doit s'annuler pour tous les systèmes de variations Sj^, 82, • . . , qui annulent la variation de K.
Cela posé, soient S'a^o, S':c<, 5'y, S'5, ,..; Z^Xqj S^'oti, 8''^, Z^z, . . . deux systèmes quelconques de variations de Xq, X|, Yf Zj . . . ; et soient 8'I, S'K; o"I, o"K les variations qui en résultent respectivement pour les intégrales I, K. Donnons à Xqj Xij y^ z, ... [de nouvelles variations égales à
8'Ko'xo~-8'K8'a:o, ..., 8'K8'y— 8'K8'7, 8'K8'5 — 8'K8'5, ....
La variation correspondante de K sera
Celle de I, qui est égale à 8"K S'I — 8'K S'^I, devra s'annuler également. On en déduit
Le rapport des variations de I et de R sera donc constant pour tout système de variations de y, z, .... Soît — X la
valeur de ce rapport. La variation de l'intégrale
l -{- \K = I {<f -^ l^) dx
sera identiquement nulle. Cette condition déterminera x^^ ^4, y, ^, ... en fonction de \ qu'on obtiendra, comme tout à l'heure, par l'équation K = c.
On voit que, dans les divers cas que nous venons d'examiner, la solution du problème revient toujours dans sa partie essentielle à annuler la variation d'une intégrale où toutes les variations sont supposées indépendantes.
362. Nous allons éclaircir ces théories générales par quelques exemples.
Cherchons quelles conditions doivent être remplies pour que l'expression
soit la dérivée exacte d'une fonction ^ de x^y, y^ . . . , ^"•~*;
On a identiquement, par hypothèse,
On aura donc, quelles que soient les variations S^O) ^^ki 8/, 8z,
o -^ hp l^o f^ dx^^^ [84.]^; + J" (M 8jK -+- N Iz) dx,
H, M, N ayant la même signification que précédemment. On aura, par suite,
-, do d d^ d} do
^ ,, ôy dx dy' dx^ dy* * " '
à ^ do d do rp do
les séries du second membre étanl prolongées jusqu^au point où elles s'arrêtent d'elles-mêmes.
363. Ces deux conditions, dont nous venons d'établir la nécessité, sont en même temps suffisantes. Cette proposition est évidente si m = o, n = o; car les deux conditions se réduisant dans ce cas à ^ = o, -p- = o, 9 sera une fonction
oy dz ' ^
de X seul, que l'on peut intégrer.
Nous allons montrer d'ailleurs que ces conditions seront suffisantes pour des valeurs quelconques de m et de n si elles le sont pour m — i , n.
Nous remarquerons tout d'abord que le développement des divers termes de M ne fournit que des dérivées de^ et de z d'ordre inférieur respectivement à 2 m et n-h m, sauf
le dernier terme ( — ^)'^'T~m T^ ^^^^ '® dé\eloppement contient les deux termes
(~ O'" (dy^:^""'^ ^"" '^" dy^dT-^
Ces termes ne pouvant se réduire avec aucun autre, M ne pourra s'annuler identiquement que si l'on a
ce qui montre que f est nécessairement de la forme
P ne contenant plus^*" ni z", et Q ne contenant plus^'*, Posons
Pé//"'-*,
ym-\ ggui étant traité comme variable dans cette intégra-
48o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
tion; U sera une fonction de ^, ^, . . . , y^^^ ; jk, - . . , -s""* , dont la dérivée partielle par rapport à ^"•~* sera P, et l'on aura, par suite,
R ne contenant plus j^"*.
Si donc on pose
la fonction (p, = Q — R ne contiendra plus y'". D'ailleurs elle satisfera évidemment aux équations (i4)) ^^^ ? y satisfait par hypothèse, et -j- étant une dérivée exacte y satisfait
aussi nécessairement. Donc, le théorème étant supposé vrai pour m — I , /i, ^< est une dérivée exacte, et il en sera de même pour o.
364. Proposons-nous , comme seconde application , la transformation des équations de la Dynamique.
Considérons un système de n points /7|, •••, pny de
masses /ni , , rrinf et dont les coordonnées â7| , j/*! , ^i , . . . ,
^ny y ni ^n soient liées par r équations de condition
Soient X|, Y|, Z| ; ... ; X;,, Y m Z^ les composantes des forces qui sollicitent ces divers points, et admettons, ce qui a lieu dans des cas très étendus, que ces composantes soient
I , , . . . „ du au du au au au
les dérivées partielles -r — 9 -x — > -r-; "'\ -i — y -5 — » ^ —
a^t dyx a^i dx^ dyn a^»
d'une même fonction U des coordonnées x, y^ z et du temps t. D'après les principes généraux de la Mécanique, on obtiendra les équations du mouvement en joignant aux
CALCUL DES VARIATIONS. 4Sl
relations (i5) les suivantes :
-T — — miXi -4- Ai V [-...4- A,, ^i — ' =: 0,
da^i dxi dxi
\àyi -^ ' dyi dyi (
•3— — rriiZi ~\- A| 3 h». --H A,. -r —
OZi QZi OZi
\y ..., \r étant des inconnues auxiliaires représentant les tensions qui existent dans le système.
Représentons, pour abréger, par T la demi-force vive
^2^mi{Xi^^yi^-\-Zi^)
et considérons Tintégrale
Les équations (i 5) et (16) sont précisément celles qui expriment que la variation de cette intégrale est nulle lorsque l'on suppose que les limites t^ et t^ restent constantes, ainsi que les valeurs initiales et finales des diverses coordonnées Xi^yiy Zi, et que d'ailleurs ces coordonnées restent assujetties, dans le cours de leur variation, aux équations de condition (i5)«
Gela posé, les relations (i5) permettent d'exprimer les in coordonnées Xy y, z en fonction de 3n — r d'entre elles ou, plus généralement, en fonction de 3/i — r nouvelles variables entièrement indépendantes ^1, ^2, .... Substituons ces valeurs dans l'intégrale. On aura
, __ dxi , dxi
et, par suite, T se transformera en une fonction de q^^ q2y ••• et de leurs dérivées^',, ^',, ..., homogène et du second
J. — Cours, III. 3i
482 TllOISIfinS PARTIB. — CHAPITRE 17.
degré par rapport à ces dernières quantités; quanta U, il
deviendra une fonction de q^, q^y
Les nouvelles variables q^^ ^2, ... ne sont plus assujetties à aucune équation de condition; leurs variations sont donc arbitraires dans tout le champ dHntégration; elles doivent seulement s^annuler aux limites. Pour que la variation de l'intégrale
--riv-'^^-*^^]-
s'annule, il est donc nécessaire et suffisant que l'on ait
—di, rfid^^*» (i = i,...,3/.-r).
Ce sont les équations transformées que nous voulions obtenir. On peut d'ailleurs les remplacer par un système canonique en prenant pour inconnues auxiliaires les quantités
-T—,' C'est un cas particulier de la proposition plus générale
démontrée au n° 3S7.
363. Brachistochrone, — Proposons-nous de déterminer le chemin que doit suivre sous l'action de la gravité un point animé de la vitesse initiale Çq pour se rendre d'un point ^0^0 ^0 à un autre point x^y^ z^ dans le temps le plus court possible.
Prenons z pour variable indépendante. La différentielle de
l'arc de la courbe cherchée sera \/i -h ^^-j-j/* ; la vitesse c,
à un instant quelconque, sera \/v\— ^g{z — z^), enfln la durée du trajet sera donnée par l'intégrale
Calcul des variations. 4^3
C'est cette expression qu'il s'agit de rendre minimum. On a
SI
= H + r '[M Sa? -f- N Sj] dz,
dz
en posant, pour abréger,
Vhz■^œ'(Zx-^œ'ùz^^y{^y-^r-y^z)'y
«- vGT-fTr" H- /^ V^t^J— 2^(5 — 5o)
^- V^i + jy^'-f-yV^J — 2^(-s— so)
Les deux équations différentielles de la courbe cherchée
M = O, N rz: C
donnent immédiatement
Cy
v/i + ar'»-+-/V^Î~2^(2 — -So) et, par suite,
yz=.--x\ y=z—x-hCi
c, Ci, C2 étant des constantes.
On voit ainsi que la courbe cherchée est située dans un plan vertical. Pour mieux reconnaître sa nature, choisissons
ce plan pour plan des xz; on aura, dans ce cas, j/' = Oy et l'équation diflTérentielle de la courbe se réduira à
d'où
^-sj\
en posant, pour abréger,
2^ IgC^ Ig
Posons
(17) 5 =r cosi;
il viendra
dx a-{-b . ^ , a-irb . /i — cos£
-7- 1= smt.x' =z sin^i /
dt 1 2 V ï "*" c^s t
= (« + £>) sin'|/=: [i — cos^],
d'où
(18) x^ ^^— [t - sin^] -f. A:,
k étant une constante.
Les équations (17) et (18) peuvent s'écrire
s-h b= (i — cos^),
X — a: =: ( / — sin O
et représentent une cycloïde dont la droite directrice est dirigée suivant l'axe des x.
Si les points Xqj yof ^0? ^o J^o ^i ^^^^ supposés Gxes, Sa:©, S^o) 3^0, 8:r<, Sy,, 8zi seront nuls, de sorte que H s'évavanouira de lui-même. Mais les quatre constantes introduites
par l'Intégration des équations M = o, N = o se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés.
Supposons, au contraire, que, le point (^o»^o j -So) étant fixe, la position du point {x^^ y^j Z\) ne soit pas donnée d'avance, mais qu'il soit seulement assujetti à se trouver sur une surface
On aura encore oj?o= S^o = S^o = o; quant à Sj^i, 8y<, 0^1, ils seront liés par l'équation de condition
Toutes les fois que cette condition sera remplie, la quantité H, qui se réduit à
8^1 -^ x\ ( Ix, 4- x\ Iz^ ) -4- y\ ( oji -f- y\lz^) devra s'annuler; on aura donc les équations de condition
/^^\ /^\ /^\ \dz),\dx),\'dy).
(jq) — — . — -- — -, — ->
qui, jointes à A = o et aux équations qui expriment que la courbe passe par .^o, y^^ z^ et par ^i, jKn ^4> détermineront les constantes d'intégration et les coordonnées finales x^^
Les équations (19) expriment évidemment que la tangente à la courbe cherchée au point (^4,y<, zC) est normale à la surface ^[» = o.
Supposons encore que, (^o>J>'oî ^0) étant fixe, (^oj^u ^\) soit assujetti à se trouver sur la courbe
486 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
Les variations 8^^ , 8^4 , 8zi seront liées par les deux équa* lions
et toutes les fois que ces conditions seront remplies, l'expression devra s'annuler, ce qui donne l'équation de condition
fd^\ fâ^\ fm \ds), \dJcJ, \dyj,
{àx\ {àx\ (àx\ \dzj, \dxl^ \dyj,
qui, jointe aux équations ^j> = o, ^= o et à celles qui expriment que (^0» J'oî ^0) et (^4, J^i, Ss) sont sur la courbe, déterminera encore toutes les inconnues du problème. Cette équation exprime que la courbe cherchée est normale à la courbe ^}; = o, 'y^ = o.
Le cas où (xo? JKo> >5o) serait lui-même variable se traiterait de la même manière.
366. Ligne de longueur minimum entre deux points. — Soient Xq, jKo? ^0 et ^u y\-, ^\ les deux extrémités de la ligne cherchée. Nous supposerons, pour plus de symétrie, les coordonnées x^ y^ z exprimées en fonction d'un paramètre t. On pourra évidemment passer de la ligne cherchée à toute autre ligne infiniment voisine en faisant varier l'expression de x^ y^ z en fonction de tj sans altérer les valeurs initiale et finale ^0 et t^ de ce paramètre. Nous aurons donc à annuler la variation de Tintégrale
I=r ds=Ç yjx'^-^y^-^z'^dty
■ où les limites t^j t^ restent fixes.
CALCUL DBS VARIATIONS. 4^7
On a
OÙ
mM rf a?' AT ^ "K'
Les équations M = o, N = o, P=:=o donneront, par Tintégration,
d'où
j?'=rconst., y':--const,, 5'=:const.,
et enfin
(20) 0? t= ai 4- a, y 7=Lbt-k-^y zziz ct-^^(,
équations d'une droite.
Si les points Xq, y^^ z^; Xi, ytj Z\ sont donnés, la condition de passer par ces deux points achèvera de déterminer la droite; il restera encore deux constantes indéterminées dans les équations (20); mais cela doit être, car on peut changer dans ces équations t en mt -^^ n^ m eln étant deux arbitraires, sans altérer leur forme et sans qu'elles cessent de représenter la même droite.
Supposons que, le point (^o> J^o> Zq) étant fixe, {x^^y^^ z^) soit inconnu, mais assujetti à se trouver sur la surface
On aura, entre les variations Sa?4, Sj^i, S^^i, la relation
488 TROISIÈXB PARTIE. — CHAPITRE lY.
et, SOUS cette condition, l'expression
doit s'annuler, ce qui donne, pour achever de déterminer la droite et les coordonnées X\^ y^^ 24, les deux équations
^1 JKi -^1
àx^ dyi dzi
lesquelles expriment que la droite est normale à la surface tj;. Si {Xi, yiy -Si) était sur une courbe
on trouverait de même IVquation de condition
i âxi dyi (Jz^ I
I ^y. EL ^L ' — ^
ôxx dyi âz^
qui exprime que la droite rencontre la courbe donnée normalement.
