I -t- Airzr / ^{X -\- ^Xy z) [dx -h d ^X

^ [* 1-^-5-4- ^^0.:= 4-... J(^a:4-^o^) rrr I ^ dx -{- d\<^ ox -\- ^ -i- ...

mais on a

dx dx

2 dx

Substituons ces valeurs dans Texpression de I-f-AI, et séparons les termes de même ordre en e;. on trouvera, pour SI, ô*I, ..., les mêmes expressions que tout à l'heure.

352. Nous venons de nous trouver conduits à faire varier non seulement l'expression de ^', ^, . . . en fonction de la variable indépendante x, mais cette variable indépendante elle-même. Cette considération nouvelle peut devenir néces saire, lors même que les limites Xo, x^ restent fixes.

Considérons, par exemple, l'aire comprise entre l'axe desx

VÎQ, lo.

et la courbe figurée en ligne pleine par la /ig. lo. Elle sera représentée par l'intégrale

j ydx,

où Ton donnera à x la série des valeurs successives qu'il prend lorsqu'il décrit la courbe, y désignant l'ordonnée correspondante.

Considérons une seconde courbe infiniment voisine de la première et ayant les mêmes extrémités, par exemple celle

que la figure représente en poinlillé, et proposons-nous d'évaluer raccroissement de Taire lorsqu'on passe de la première courbe à la seconde. Pour opérer ce changement, il ne suffira pas de faire varier l'ordonnée de chaque point de la première courbe en laissant l'abscisse constante; car il y a sur la seconde courbe des points auxquels ne correspond, sur la courbe primitive, aucun point ayant la même abscisse. On pourra, au contraire, passer aisément de la première courbe à la seconde, en altérant un peu les abscisses en même temps que les ordonnées.

353. Cela posé, l'objet principal du calcul des variations est la solution de la question suivante :

Les fonctions y, 5, . . . , qui figurent dans l'intégrale I, et les limites Xq^ x^ étant indéterminées en tout ou en partie, achever de les définir, de telle sorte que la valeur de l'intégrale I soit maximum ou minimum.

D'après cet énoncé, si l'on donne ky, z, . . ., Xo, x^ un système quelconque de variations infiniment petites 8^, Sj, ..., SoTo) ^X\ compatible avec les conditions imposées par l'énoncé du problème, l'accroissement

qui en résulte pour la valeur de l'intégrale devra conserver constamment le même signe (positif ou négatif suivant qu'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum).

Or, e étant infiniment petit, l'ensemble 81 des termes du premier degré sera prépondérant et donnera son signe au résultat. Si d'ailleurs on admet (ce qui aura lieu très généralement) qu'à chaque système de variations S^, hz, . . ., Zxq^ hx^ compatible avec les conditions du problème, correspond un second système de variations — Zy^ — 8^, ..., — 8j:o, — 8xi jouissant de la même propriété, ce nouveau système de variations donnera à I l'accroissement

J. — Cours, III. 3c

466 TKOlSlbHE PAVTiR. — CHAPtTKE IT.

qui sera de signe contraire au précédent, à moins q\ n'ait SI = o.

Nous obtenons donc cette première condition poar l'e tcnce d'un maximum ou d'un minimum :

l,a variation première SI doit s'annuler pour tout i lème de variations iy, 5«, .... 5:f,, Sx, compatible c tes conditions du problème.

3oi. Celte condition détermine, en général, ainsi que n le veiTons, ce qui reste d'arbitraire dans ta déCoîtion i fonctions^, 2, ... et des limites x^, X|. Mais elle n'est suffisante. Il faudra en eflel s'assurer que, après avoir ai déterminé ces quantités inconnues, l'accroissemeot de I pi une variation infiniment petite (compatible avec les con lions du problème) conservera toujours le même sigi d'ailleurs, SI étant nul, cet accroissement se réduit à

isn-i-....

Le terme prépondérant de ce développement. jS*I, devra donc pas changer de signe, quel que soit )e svsiè de variations que l'on adopte parmi ceux qui sont adm sibics. Cette seconde condition sera évidemment suffisai si {S^I est toujours difTérent de zéro. Mais, s'il existait système de variations qui annulât 5*1, il n'y aurait ni ma;

mum, ni minimum, à moins que :;5'I, qui est d'oit

impair, ne s'annulât en même temps, auquel cas il rester à discuter le signe de S'I, etc.

Nous nous bornerons, dans cette Section, à tirer les con; quences de la première condition

Hu5. Posons, pour abréj;er l'écriture,

CALCUL DBS VARIATIONS. Ifirj

Nous aurons, d'après la formule (3),

8;p z= A 8y -+- A., S/ H- . . . -h A;„ ly'^ + B 8-5 4- . . . ,

valeur qu'il faudra substituer dans l'intégrale / So dx.

L'intégration par parties permet de transformer cette expression en faisant disparaître sous le signe f les variations des dérivées j'', . . . , y'^, z\ . . . , 5", .... En effet, considérons, par exemple, le terme

/ A;t 8y* dx.

Nous savons que S^* est la dérivée Ar*^™" de 8;^; on aura donc

kk^y'^dx^ [A;t8/*-» — A;t;o7*-»-4- ... 4- (— i)*-' Aj"* 87 jj;

+ f \-i)''kiZydx.

Opérons de même sur chaque terme de 8^ et posons, pour abréger,

A -A; + ...-t- (-!)"• PlZ =m, ' A, -a; + ...-)- (-!)'«-' Ar'=c, A,- a;-)-. . .+ (- i)-"-' Ar' =C',

B,-B;+...+ (-i)'-»Br' ^D',

468 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.

il viendra

SI = [^] 1 Sj?, — [cp]o 8j?o 4-

[csj-hC*5y-h...-hG'«-*5y«-n''

Cette expression doit être nulle pour tous les systèmes de valeurs admissibles des variations S^, 5z, . . •, S:Co» Sj:,.

356. Supposons d'abord que ces variations puissent être 3hoisies d'une manière entièrement arbitraire. On pourra poser, en particulier,

ôXq -" 8a:, -z o, 8j — ee» M, 8-8 - eO*N, . . . ,

0 étant une fonction quelconque de jr, qui s'annule pour x=:Xfi et pour x =^x^^ ainsi que ses dérivées successives, jusqu'à un ordre égal au plus grand des nombres m — i, n — I , .... Pour ce système de variations, les ternies tout intégrés de 81 s'évanouiront, et l'on aura

Cette intégrale, dont tous les éléments sont positifs, ne pourra s'évanouir que si l'on a

ce qui réduira l'expression de 81 à la partie tout intégrée

[G 8j -+- G» 8/-h . . . 4- G'"-» 8j"'-' T'. -f-D8^ -l-D»8c'-h...-hD'»-^ 8^«-» j -i-[<p,]8a:,--[ç]

-=C,87,-t-G|8j;-f ...4-Gr*8jrM-D,8c,-i-...-hDî-*85r'--.

-Go8jo-Ci8y,-...-Gr»8j--i-^Do85,-...~Dj-*a;:r* — -+-[cp]i8a7,— [cp]o8^o»

que nous désignerons par H.

Les diverses variations qui flgurent dans cette expression

— fçlo 8.a7o

sont évidemment des arbitraires indépendantes. Donc, pour que 81 s^annule identiquement, il faudra qu'on ait encore

/r\ l ^*^^®» ^i^^^o» •••> Co— ^o, ..., DJ" -= o, ...,

Les équations'

sont des équations difTérentielIcs entre x et les fonctions inconnues r, z.

Lapremièrecontient les dérivées de j', 5, ...jusqu'à l'ordre 2/?i, n -{- nij ... respectivement. La seconde les contient jusqu'à l'ordre m-\- n, 2/1, . . . ; et de même pour les suivantes si le nombre des fonctions^, z^ ... surpasse 2. Ces équations forment donc un système d'ordre 2m 4- 2/1 -f- ... en général, et donneront y, 2, ... en fonction de x et de 2m 4- 2 n 4- ... constantes arbitraires a^y a2i ....

En substituant ces valeurs dans les 2-|~2/n4-2/i-f-... équations aux limites (6), on aura le nombre d'équations nécessaires pour déterminer les constantes d'intégration et les limites Xo, x%. Le problème est donc en général déterminé.

357. Jacobi a montré que le système des équations difTérentielles( 7) peut être ramené à un système de 2/n4- 2/n- ... équations du premier ordre ayant la forme canonique.

Supposons, en effet, pour fixer les idées, qu'on ait deux fonctions inconnues y^ z. Prenons pour inconnues auxiliaires les quantités y^ . . .,^'"~', z'^ . . ., ^'»~*, C, C*, . . ., C*"*, D, D', . . . , D**"* ; on aura, par définition.

dx ^'

dx ^ '

dx""'

ds"-^

mit

dx - " '

470 TROISifeMB PARTIE. — CHAPITRE IT.

D'autre part, la différentiation des équations (5) donne immédiatement (en remarquant que M = N == o)

dC ^'— A,— G'-«

^^^ ïdD rfD' ,

(Sx -^' •••' -d^-^'-^ '

et, si Ton lire des équations

les valeurs de j''", .s" pour les substituer dans les équations (8) et (9), on obtiendra, entre x et les nouvelles variables^-. /? •-,7'""*; 5, •••, ^''"*; G, ..., G»»-*, D, ..., D«-«, uu système d^équations du premier ordre, équivalent aux deux équations primitives.

Ce nouveau système est canonique. Considérons en effet la fonction

U=<p — Cj' — ... — C'"->y'« — D5' — ...— D«-*i;». Sa difTérentialion donnera

dV ---z ^^da: -\' Xdy -h (k,~ C) df -^ , , .-^- (k„ -^ C"-* ) dy""

~- ^' d\) — z'dï)'-... — z" dl)^-'.

D'ailleurs les coefficients de dy'^ et de dz" dans cette expression sont nuls. On voit donc que, si Ton exprime U en fonction de x, y^ . . ., y"*'* ; 2, ..., z"'^ ; C, . . . , C""* ; D, . . ., D"~*, en éliminant j'?", z"^ au moyen des équations (10), on aura

A— -1— , •• , Ai—W ^— —y .-., 13— -r-, ...>

ôy ôy^ oz

ce qui établit notre proposition.

358. Réciproquement, soit L) une fonction quelconque de X et d'un nombre quelconque de couples de variables y^ 7); 2, 2^; ...; supposons ces dernières quantités fonctions de x^ et cherchons la variation de l'intégrale

(L -f-Tjy-4- Çs'h-. . .)dx^

en supposant qu'on les fasse varier. La portion de la variation qui restera sous le signe 1 , après l'intégration par parties, sera

et, en exprimant qu'elle est constamment nulle, on aura les équations canoniques

dy -^ dt\

On voit donc que le problème d'annuler la première variation d'une intégrale et celui d'intégrer les systèmes d'équations canoniques sont entièrement équivalents.

359. Les résultats que nous venons de trouver subissent quelques modifications, lorsque les fonctions jk» z^ . . . et les limites Xq, x^ ne sont pas entièrement arbitraires. Nous allons passer en revue les principaux cas que l'on rencontre dans les problèmes usuels.

r* Les fonctions^, ^, . . . sont encore arbitraires dans l'intérieur du champ d'intégration; mais il existe entre les

limites^o,^! et les valeurs Jc/oj •••».>'î''*i ^o, ..,^2'*; ...; y^^ • • • ? y7~^ î ^1 , . . . , z""* : . . . que prennent pour ces limites les quantités ^, y, .. .,^'"" *; z^ z' ^ . .., 5"'*; ... une ou plusieurs reliions

(il) 'I' — o, x~o»

On aura encore, dans ce cas, M -^ o, N =: o, . . . ; mais les variations S^r©, 8xj, 8^o? ••• qui figurent dans la partie tout intégrée de 81 ne seront plus indépendantes les unes des

(\'J2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.

aulrcs, et chacune des équations (ii) fournira une relation iinéaîre entre ces variations.

En efTet, changeons y, z, ... en ^ 4- 8>', z 4- S^, puîs Xf, ^, en Xq-^-Ixq, x^'^lx^, Soient jKo H- A/o? j^o-f-A;-^, ... ce que sont devenus jKo» y^^ ••• par cette variation. Ces nouvelles valeurs, associées aux nouvelles limites Xq-^-Zx^^ Xi H- Sj^i, devront encore satisfaire aux équations aux limites

ïj; = o, y^ = o, On aura donc, en développant par la série

de Taylor et s'arrétant aux termes du premier ordre,

O = ^ = p-^xo-h T^^-^i-H P- ^7o4- ^ Aj.;-^ . . .,

âxo dx^ dyo ^ dy^ "^^

Il ne reste plus, pour obtenir les relations cherchées, qu'à trouver l'expression de A/o> A/'o? • • • en fonction de S.ro, 8x1, 8;'o> 8>^'oJ • ' •• ^" l'obtient aisément comme il suit. On a, par défînition,

On aura donc, en négligeant les termes du second ordre, comme nous le faisons dans toute cette recherche,

Nous avons ainsi obtenu autant d'équations linéaires entre les variations SjCq, 8j?i, 8^o> ••• qu'il existe d'équations de

condition ^ = 0, -j^ r^ o, Soit /> ce nombre. On pourra,

au moyen de ces relations, éliminer p variations de l'équation

— 1^0 o ) 0 — • • — ^0 ^y 0 -f- l-'i Ov] -;- ... : IJ y Ow I

0 û*o — • • • ^-'o ^'^0 TT O.

Les 24-2m-|-2/i-f-... — p variations restantes étant entièrement indépendantes, on devra égaler leurs coefficients à zéro, ce qui donnera autant d'équations de condition nou* velies, qui, jointes aux équations if=io, ^ = 0, ..., détermineront encore Xq^ x^ et les constantes d'intégration.

On peut d'ailleurs opérer d'une manière plus symétrique en ajoutant à l'équation précédente les équations Of z^ o, 8y^ ^=: o, multipliées par des indéterminées X, |x, . . ., et égalant à zéro les coefficients de chaque variation. Les 'i -H 2/w -H 2/H- . . . équations ainsi obtenues seront les mêmes que celles qu'on obtiendrait en annulant la variation de I -h X^ 4- [A^ 4- . . • . X et [A désignant des quantités invariables. En les joignant aux équations données tj/ =^ o, ^ = o, . . ., on pourra déterminer toutes les inconnues du problème, y compris les inconnues auxiliaires )^, [a, . . . .

360. 2"^ Les fonctions j^, 2, ... ne sont plus indépendantes, mais sont liées par des équations diflerentiellcs

Soit p le nombre de ces équations, dans lesquelles pourront d'ailleurs figurer, outre les fonctions inconnues^', z^ ,.. et leurs dérivées, d'autres inconnues auxiliaires £/, ... et leurs dérivées. (Le nombre de ces nouvelles inconnues devra toutefois être inférieur à celui des équations de condition.)

Les équations tj/ = o, ^ = o, ... feront connaître p des inconnues jKj -2, . . ., a, . . ., par exemple j% ... en fonction des autres js, ...,{/,.. ., qui resteront indéterminées.

Cela posé, désignons par X,, ..., X^, des fonctions arbitraires de a?, que nous nous réserverons de déterminer. On aura évidemment, pour tout système de variations de^, 5, ..., 1/, ... ; ^0» «^1 compatible avec les équations t}; = o,'y^=:o, ...,

474 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.

car rintégrale / (^i ^ + ^2'^ ~^"*) ^^ étant identiquement

nulle, sa variation Test aussi.

La variation de l'intégrale

traitée à la manière ordinaire (sans faire varier les fonctions y) y pourra se mettre sous la forme

IF désignant la partie tout intégrée et M', N' des expressions formées avec ^, 5, . . . , w, . . . , X< , . . . , X^, et leurs dérivées. Déterminons les fonctions arbitraires )h> •••» ^/> par la condition d'annuler les coefficients des variations 8^, . . . des variables dépendantes y^ . . .; 8K. se réduira à

et, comme les variations Ss, Se/, . . . sont arbitraires dans tout 'le champ d'intégration, on aura séparément

H'rTO, N^---o, .... P' — o,

Nous aurons donc, pour déterminer y^ z et les fonctions auxiliaires X|, ..., X^, les équations différentielles simultanées

M' — o, N'-:-o, ...; P'zno, ....

Les constantes d'intégration et les limites x^y x^ se déduiront de la condition H' = o. Celle-ci se décompose d'ailleurs en autant d'équations distinctes qu'il reste de variations indépendantes parmi celles qui figurent dans H', lorsqu'on a

CALCUL DBS VARIATIONS. 4?^

tenu compte des équations aux limites

qui sont des conséquences des équations t{^ == o, y= o, lesquelles ont lieu identiquement pour toute valeur de x,

La série de ces équations aux limites devra d'ailleurs être arrêtée au moment où apparaîtraient, dans les dérivées successives de <}/, ^, . . ., des dérivées de ^, >5, . . .; w, . . . d'ordre supérieur à celles que contient H'.

On obtiendra donc la solution du problème proposé en égalant identiquement à zéro la variation de l'expression

Les équations ainsi obtenues, jointes aux équations et à celles-ci :

déterminent toutes les inconnues du problème, y compris les multiplicateurs X, |x, v.

^y6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

361. 3"* Les quantités inconnues y<t z^ . . ., Xq, Xi sonl assujetties à varier de telle sorte qu'une intégrale définie

prise entre les mêmes limites que I, conserve une valeur constante c.

Ce cas se ramène immédiatement aux. précédents. Prenons, en eCTet, comme inconnue auxiliaire, la quantité

a 77- / ^ dx.

Cette équation, qui défînit £/, équivaut évidemment aux deux suivantes :

U' ■=.^, UrrzO pour X == J7o-

D'ailleurs, pour x = x^, u devient égal à r ; on doit donc avoir

U^=:C pour^r-rr^,.

D'après le numéro précédent, nous aurons donc à annuler identiquement la variation de l'expression