X(<1- u')]dX'\- fXo"o-r- H^i(«i-^c

^-hl^-i- -^ujdx-i- (,io4-Xo)«o-l-(fA| — Xi)("i-- c),

'ko et X| étant les valeurs de X aux deux limites Xq et x^.

Les termes qui, dans la variation de cette expression, dépendent de 8//, huoy ^Ui, seront

On aura donc les équations

— —o, [io-1-Ao — o, {X, — X|— o;

CALCUL DES TÀRIATIONS. ^77

donc "k est une constante, et la quantité dont on doit annuler la variation se réduit à

{<^-\'\^)dx.

Les équations qui expriment que cette variation est nulle détermineront les inconnues Xq, ^tt Xt ^» • • • en fonction de la constante inconnue X. Ces valeurs, substituées dans Tintégrale K, en feront une fonction de X, telle que /(X); il ne restera plus qu^à résoudre Téquation

On peut retrouver ce même résultat par les considérations suivantes.

La variation de l'intégrale I doit s'annuler pour tous les systèmes de variations Sy, 8^, . . ., qui annulent la variation de K.

Cela posé, soient h'xo, S'xi, 3'^, o'^, ... ; o^Xq, o"x^y B'^y, S^-s, . . . deux systèmes quelconques de variations de Xo, x^, y, z^ . . . ; et soient S'I, o'K; o'I, S''R les variations qui en résultent respectivement pour les intégrales I, K. Donnons à Xq^ ^iy y^ ^j - • • !<^6 nouvelles variations égales à

La variation correspondante de R sera

a^KS'K-S'KS'K^io.

Celle de 1, qui est égale à 5''K 5'I — ô'KS"!, devra s'annuler également. On en déduit

Le rapport des variations de I et de R sera donc constant pour tout système de variations de y^ z, .... Soit — X la

valeur de ce rapport. La variation de l'intégrale

sera identiquement nulle. Cette condition déterminera Xo, a:«,y, -3, . . . en fonction de X, qu'on obtiendra, comme tout à l'heure, par l'équation K = c.

On voit que, dans les divers cas que nous venons d'examiner, la solution du problème revient toujours dans sa partie essentielle à annuler la variation d'une intégrale où toutes les variations sont supposées indépendantes.

362. Nous allons éclaircir ces théories générales par quelques exemples.

Cherchons quelles conditions doivent être remplies pour que l'expression

soit la dérivée exacte d'une fonction ^ de x^y, y ^ • • • ? y^~^\ On a identiquement, par hypothèse.

On aura donc, quelles que soient les variations 8xqj SjTi,

H, M, N ayant la même signification que précédemment. On aura, par suite,

Mâo d d'^ d} 09 . , , àv dx dy' dx^ dy' ' " *

1 „ do a d<3 d- df

[°'~'^ — di ~d^dt''^dxidt'~""

les séries du second membre étanl prolongées jusqu^au point où elles s'arrêtent d'elles-mêmes.

363. Ces deux conditions, dont nous venons d'établir la nécessité, sont en même temps suffisantes. Cette proposition est évidente si m = o, /i = o ; car les deux conditions se ré-

duisant dans ce cas à —- = o, ^ = o, 9 sera une fonction

âf oz ' ^

de X seul, que l'on peut intégrer.

Nous allons montrer d'ailleurs que ces conditions seront suffisantes pour des valeurs quelconques de m et de /i si elles le sont pour m — i , n.

Nous remarquerons tout d'abord que le développement des divers termes de M ne fournit que des dérivées àe y et de z d'ordre inférieur respectivement à 2 m et /i -f- m, sauf

le dernier terme ( — 0'"T~m xi^T ^^^^ '® dé\eloppemenl contient les deux termes

Ces termes ne pouvant se réduire avec aucun autre, M ne pourra s'annuler identiquement que si l'on a

ce qui montre que cp est nécessairement de la forme

P ne contenant plasy'^ ni z^, et Q ne contenant plus^*".

POSOBS

/m-l Pdy»-*,

yf»-* seul étant traité comme variable dans cette intégra-

48o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.

tion; U sera une fonction de ^, ^, . . . , J^"*~* ; js, . • • , ^'•"•, dont la dérivée partielle par rapport à y^"^ sera P, et Ton aura, par suite ,

(m d\} d\} , àU ^ d\^ , àU ^

R ne contenant plus^*".

Si donc on pose

la fonction <p, = Q — R ne contiendra plus j/*'". D'ailleurs elle satisfera évidemment aux équations (i4)î car cp y satisfait par hypothèse, et -r- étant une dérivée exacte y satisfait

aussi nécessairement. Donc, le théorèma étant supposé vrai pour m — I , /i, <f 4 est une dérivée exacte, et il en sera de même pour <p.

364. Proposons-nous , comme seconde application , la transformation des équations de la Dynamique.

Considérons un système de n points /?|, ..•, /?„, de masses /tIj, . . ., w^, et dont les coordonnées x^^ yxy z%^ . . ., Xni y Ht Zn soient liées par r équations de condition

Soient X|, Yi, Z| ; ...; X;,, Y„, Z„ les composantes des forces qui sollicitent ces divers points, et admettons, ce qui a lieu dans des cas très étendus, que ces composantes soient

les dérivées partielles -r — > ^ — > -r— : •••: -x — > -^ — , -- —

^ d^i dfx dzi' dx^ ,dy^ dz^

d'une même fonction U des coordonnées x, y^ z et du temps t. D'après les principes généraux de la Mécanique, on obtiendra les équations du mouvement en {oignant aux

relations (i5) les suivantes :

(i6) ' -T m/v' -hXi -r^ -h...-4-Xrx^ — o, ) (i=ii,...,n),

■ — — ntiZi -f- A| -r-^ -f-.,.-r- A;.

).j, ..., \r étant des inconnues auxiliaires représentant les tensions qui existent clans le système.

Représentons, pour abréger, par T la demi-force vive

et considérons Tinlégrale

Ir^ r'(lM-T)^/.

Les équations (i5) et (i6) sont précisément celles qui expriment que la variation de cette intégrale est nulle lorsque Ton suppose que les limites t^ et t^ restent constantes, ainsi que les valeurs initiales et finales des diverses coordonnées Xi^yi, Zi, et que d'ailleurs ces coordonnées restent assujetties, dans le cours de leur variation, aux équations de condition (i5).

Cela posé, les relations (i5) permettent d'exprimer les 3n coordonnées x, y^ z en fonction de 3/i — r d'entre elles ou, plus généralement, en fonction de 3/i — r nouvelles variables entièrement indépendantes y,, </2, Substituons ces valeurs dans l'intégrale. On aura

et, par suite, T se transformera en une fonction de q^^ q^t ••• et de leurs dérivées ^'^ , ^', , ..., homogène et du second J. — Cours, m. 3i

degré par rapport à ces dernières quantités; quant à U, il

deviendra une fonction de q^, q^,

Les nouvelles variables q^, 72? ... ne sont plus assujetties à aucune équation de condition; leurs variations sont donc i<rbitraires dans tout le champ d'intégration; elles doivent seulement s'annuler aux limites. Pour que la variation de l'intégrale

s'annule, il est donc nécessaire et suffisant que l'on ait d(U-4-T) d ÔT

dqi dt ôq'i

Ce sont les équations transformées que nous voulions obtenir. On peut d'ailleurs les remplacer par un système canonique en prenant pour inconnues auxiliaires les quantités

-T-7' C'est un cas particulier de la proposition plus générale

démontrée au n*^ 3o7.

36?). Brachistochrone, — Proposons-nous de déterminer le chemin que doit suivre sous l'action de la gravité un point animé de la vitesse initiale v^ pour se rendre d'un point •^o^o^o à un autre point x^y^ z^ dans le temps le plus court possible.

Prenons z pour variable indépendante. La difTérenlielle de Tare de la courbe cherchée sera y i h- x'^-^y'^'^ la vitesse v à un instant quelconque, sera v'Vj— 2^(^ — Zq)^ enfin la durée du trajet sera donnée par l'intégrale

GALCLL DES VARIATIONS. 4^3

C'est cette expression qu'il s'agît de rendre minimum. On a