III. — Variation des intégrales multiples

395. Les notions fondamentales du calcul des variations peuvent s'étendre sans difficulté aux fonctions qui renferment plusieurs variables indépendantes.

Considérons, par exemple, une fonction

?(^» y y -, «^ f, . . . , Wapy, «'apy, • • • )

des variables indépendantes x, j^ z^ des fonctions u, v de ces variables et de leurs dérivées partielles

"*P^ ''^ 'dx^dyfd'zt ' ''''P^ "" Tx^ dy^ dzx '

Si Ton y change i/, i' eni/-4-ew< = //4-8w, (;-|-e(;, =(;-f-8i', (f se changera en une nouvelle fonction ^{Xy y^ z, e), qui, développée suivant les puissances de e, prendra la forme

Od aura évidemment

d'où, pour la valeur particulière e =: o,

dx' ^ dx'

-T-j représentant la dérivée complète de ç par rapport à j:, en

tenant compte de ce que e/, i^ dépendent de cette variable. On trouvera de même

^/ ^ dy dz^ ^ dz*

La variation première Stp, que nous considérerons spécialement dans ce qui va suivre, aura évidemment la valeur suivante :

iOtp r= U OW -f- . . . -h Ua^Y ^UoL^y -h V Sf' -+- . . . -r- VapY ôç'apy -f- . . . ,

en posant, pour abréger,

(^f' ~ ' ••" ()rapY -^«Py»

396. Cherchons maintenant les variations de l'intégrale triple

I— ^"^dxdydz,

en admettant, pour plus de généralité, que, en même temps qu'on change w, i^ en u-\- 8w, v -f- 8^, on fasse subir une allération infiniment petite au champ de Tintégralion.

A chaque point 5> "^i» Ç situé sur la limite de Tancien champ d'intégration, on pourra faire correspondre un point infini-

ment voisin Ç + 8Ç, tj -h St^, Ç H- oÎJ sur la limite du nouveau champ. Cela posé, cliangeons de variables indépendantes en posant

Sj:', Qy\ 8z' étant des fonctions infiniment petites, assujetties à la condition de se réduire à 8Ç, Stj, oJJ lorsque .r'= Ç, y'rznrj, 2'=!J. L'intégrale altérée, exprimée au moyen de ces nouvelles variables, prendra la forme

l^M=z^W3dx^dydz\

le champ d'intégration étant redevenu le même que dans Tintégrale primitive I, J désignant le jacobien

I fi 8,r'

dj:

doz'

dj.

dl.T'

dw

'dv^ dlz'

dix' dz'

dly' dz'"

dlz' I dz'' i

enfin Vêtant ce que devient ^ lorsqu'on l'exprime au moyen des nouvelles variables x\ y ^ z' .

Le développement de cette expression, suivant les puissances de e, ne présente aucune difiiculté; nous l'arrêterons aux termes du premier ordre pour obtenir la variation première oL Nous pourrons d'ailleurs, en le faisant, supprimer les accents dont sont affectées les nouvelles variables, aucune confusion n'étant à craindre, puisque les anciennes vai'iables X, y^ z auront disparu.

On a évidemment, avec ce degré d'approximation,

D'autre pari,

J. — Cours, III.

dl.r dly dlz dx dy dz

4> r= <p H- 8îp -i- . . ,

53o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRB IT.

devient, en remplaçant x^ y^ z par x -+- Sj?, y -f- Sj^, z 4- 85,

/fo ^ rf© ^ do ^ ^

V =r 9 -I- --^ oj: -+- -7^ ov 4- -r 0-5 4- . . . -f- d? -T-

^ dœ dy ' dz ^

On

aura

donc

TJ-

; «p -4-8îp

dx

do ^

dy '

-t- - 0-^ az

dix

dly • dy

dlz

^^ dz

d ^ d . d dx^'^'-^dy^^y-^dz'^

Remplaçant û:p par sa valeur (i), substituant dans Téquation (2) et égalant de part et d'autre les ternies du premier ordre en e, il viendra

/ U OM 4- . . . -h- Ua^Y SwaPY -+" V Ot' -r- . . . \

^V -^Tx'^'^'-'-Ty'^'y-^dz'^^' / ^

397. Cette expression de SI, donnée par M. Ostrogradskv, peut être transformée par Fintégration par parties.

On peut admettre, pour plus de simplicité, que la fonction '^ soumise à l'intégration et les équations de condition (jui peuvent exister, suivant la nature du problème, entre les variables indépendantes x, y^ ... et les fonctions inconnues a, i^, . . . ne contiennent aucune dérivée partielle de ces dernières fonctions d'ordre supérieur au premier; car le cas où figureraient des dérivées partielles d'ordre m se rannènerail à celui-là en prenant pour inconnues auxiliaires les dérivées partielles jusqu'à Tordre m — 1 et ajoutant aux équations de condition les équations aux dérivées partielles du premier ordre qui définissent ces nouvelles inconnues.

Supposons encore, pour abréger l'écriture, qu'il n'y ait plus que deux variables indépendantes Xy y^ et posons

au du dv do - do

ax ôy dx ou du^

y— zzsz Ua, .... On aura, d'après ce qui précède,

/ U 8w -H Uj ow, -f- Uj 0W5 -H V ot' -+- . . . \ gI =:= V ( d ^ d ^ \dxdy.

r^es termes U| 0W|, V| ôVi, ... et -r-fox peuvent être intégrés par parties par rapport à x^ et donneront

U, ow, h V, ot^, -h . . . -f- y- ? ^-^ ) <^*^

(3) \ ---Fo-r-F,-F,-^F3-...

V/U, . dV, , \ ^

dx dx

Fo, F|, ... désignant les valeurs de l'expression

F =: U, Sw + Vj ût' 4- , . . -r ^ OX

aux points où la parallèle aux x le long de laquelle on intègre entre dans le champ et en ressort ( /ig» 12).

Fig. 12.

! J-n '' ^ r, f»-'.. \Tj

On a d'ailleurs, en désignant par No X, Ni X les angles que la normale extérieure à la courbe qui limite le champ fait en ces divers points avec Taxe des x positifs, et par rf^oi ds^j ... les arcs interceptés sur la courbe entre la droite^' et la parallèle infiniment voisine y -}- dy^

dy z^ — dso cosNoX -- dsi ces N, X = . . .

L*équation (3), intégrée par /apport à y^ donnera donc

vfUi8w,-HVt St'jH-. . .H- ^cp8a?j dœdy rrz Au, 8w-hV, «('H-.. .-i-<p8^)cosNXd:s

la première intégrale étant prise le long de la courbe limitt et la seconde dans tout le champ.

On peut opérer de môme sur les termes

en les intégrant par rapport ky^ On trouvera ainsi 81 — A A Jw -i- B 8(> -f- . . . 4- D 8x -i- E a^) ^5

-l-V(M 8m 4- N8(;-h. . .)dxdy

en posant, pour abréger,

A = U, cosNX 4- U, cosNY, BT-Vl'os^X^-V, cosNY,

D ^^ cpcosNX, E — cpcosNY,

ax dy

da> dy

398. Clierchons à quelles conditions on doit satisfaire pou que cette quantité s'annule pour tout système de valeurs d Sx, 8^, 8w, 8r, ... compatible avec les données du problème

1® Si les limites du champ et les fonctions «/, i^, . . . soc

CALCUL DES TARIÀTIONS. 533

entièrement arbitraires, on pourra assigner à Zx, Sy, 8;^, Sf', ... des valeurs absolument quelconques. Posant d'abord

8j?rr:8j^=o, o// = eO'M, ot; = £0>N,

0 étant une quantité qui s'annule aux limites du champ, l'intégrale simple aura tous ses éléments nuls, de sorte que 81 se réduira à l'intégrale

Qe«(M* HN*-4-...)^^rf/,

•qui ne peut s'annuler que si Ton a séparément

M rrr O, N rrj O, ....

Ces équations aux dérivées partielles détermineront les fonctions inconnues iiy c, . . . .

Les fonctions arbitraires introduites par cette intégration et les limites de l'intégration s'obtiendront en exprimant que l'intégrale simple à laquelle se réduit ol s'annule également, quelles que soient les fonctions 8^, 8^, 8w, 8r, .... En posant

on voit qu'on devra avoir séparément

ArrrO, B =:r O, ..., E i= O.

'2" Supposons que, sur la limite du champ (ou seulement sur une portion de cette limite), on ait une équation de condition

Cette relation devra subsister entre les nouvelles valeurs limites a; -f- 8.r, y + Sj^', u 4- Aa, i^ -h A(\ D'ailleurs l'accroissement total ùlu dû au changement de la fonction u en u -h 8m suivi du changement de x, y en x -\- Zx^ y-t-^y est évidemment égal à 8w -h M| 8^ -f- «2 ty. De môme

Af' =1 ^ç -h Çi Sot -H t'i 8j,

On aura donc à la limite du champ entre les variations Sx^

By, 8m, 8p, ... la relation

-— tx-h -~-oy-r- ■— (ou -I- Ui ùx -i- «/, oy) dx ôy *^ du ^ ^ '

Les équations A = o, B = o, . . . , E = o ne seront donc plus nécessaires le long de la portion de courbe considérée pour que Tintégrale simple s'annule, mais il suffira que Ton ait

OU ôv

y. étant une inconnue auxiliaire.

On a donc une inconnue de plus, mais en même temps une équation de plus, à savoir if r= o,

3® Supposons que x, y, u, i^, ... soient liés par une équation aux dérivées partielles

^{x,y,u, Wi, Wg, i', t',, (^„ ...) — o.

On aura, pour tous les systèmes de valeurs des variations qui laissent subsister cette équation,

81 z= 8 V cp û?a: c/j ::ii 0 V (cp -i- Xd/) dx dy^

X étant une fonction arbitraire de forme invariable.

La variation de cette dernière intégrale pourra se mettre sous la forme

Aa' Sw -+- B' ot; -h . . . -h D' Sa: 4- E' ajK) é/j -+- Q (M' 8a ~ N' 8(> 4- . . . ) rf^ dy.

CALCUL DBS VARIATIONS. 535

Déterminons Tauxiliaire X par l'équation ^1'^= o. L'intégrale double se réduira à

Il est clair d'ailleurs que or. . . . pourront être choisis à volonté sans que l'équation 6.-.0 cesse d'avoir lieu. Donc on devra avoir N' =r o, . ...

Reste rintégralc simple, qui devra s'annuler tant que l'équation tj^ = o subsistera. Or les variables sont encore liées par cette équation à la limite du champ. Si cette équation contient les dérivées partielles //|, Wo, t',, ('2, .... elle n'apprendra rien sur les variations S.r, oy^ 83, 5^/, de sorte qu'on devra avoir

Mais, si elle ne contient que x, y^ 11, r, .... il suffira, d'après le cas précédemment examiné, de poser sur la courbe limite