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soit nul.

D'ailleurs les équations (45), respectivement multipliées par (^1, . . . , Vm^^ ajoutées ensemble, donneront

ou, en vertu des équations (43) et (44)>

Les maxima et minima cherchés sont donc les racines de Téquation I = o.

Pour que (p reste constamment non positif (ou constamment non négatif) entre x^ et Xx^ et cela pour tout système de valeurs des v^ il est évidemment nécessaire et suffisant que ces racines restent toutes non positives (ou toutes non négatives) dans cet intervalle.

D'ailleurs^ si cette condition est remplie, on n'a pas à craindre que ç soit identiquement nul entre j?o et x^ ; car il faudrait pour cela que l'équation en p eût une racine nulle pour toute valeur de x entre x^ et^i, ce qui est impossible; car le terme constant de l'équation en p se confond, au signe

520 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.

près, avec le déterminant J| qui, par hypothèse, n'est pas identiquement nul.

Nous obtenons ainsi les conditions suivantes pour Feiislence d'un maximum (ou d'un minimum) :

Dans toute détendue de l'intervalle x^ac^ le déterminant A(a?o,^) doit être \o {sauf pour x = Xo)y et les racines de V équation I = o doivent être non posi tisses (pu non négatives).

393. Nous avons toutefois admis, pour arriver à ce résultat, qu'on pouvait déterminer une constante Ç, teUe que l'on eût

(46) L{Xy\)::o de j^o à a?!.

II nous reste à nous assurer que cette condition est implicitement contenue dans les précédentes.

La condition A(a:o, .^) <opour j:^> j?o<^i donne, en particulier, pour x~- x^^

Les éléments du déterminant A et les coefficients de I étant par hypothèse des fonctions continues, on pourra déterminer des quantités êq» ^i assez petites pour qu'on ait encore

tant que Ço» \\ seront respectivement compris entre x^ et ^0 ~H So et entre x^ et :C| -h e|. On aura donc

tant que x sera compris entre x^-f- êq et Xs-\- e|.

D'autre part, les racines de l'équation I =:= o conservent un signe constant dans Tintervalle de Xç^^ Xi\ d'ailleurs, J, n'étant pas nul pour x=- x^^ aucune d'elles ne sera nulle pour cette valeur de x\ et, comme elles varient infîninrient peu entre x^ etoTi -H e|, elles conserveront encore leur signe dans ce nouvel intervalle.

CALCUL DBS VARIATIONS. 627

De cette propriété et de l'équation (47)» on déduit que 8^1 ne peut s'annuler dans Tintervalle de Xo-h^o à j?i + e|. Donc, d'après le n° 382,

A(ar, ^, 4-e|)<0 pour ojJa^oH- Bq < a?, -t- e,.

D'ailleurs cette expression est également ^ o si ^ est compris entre Xq et jJo+ ^o» ^^ satisfera donc à la condition (46) en prenant ^ = Xi-\- e^,

394. Nous ferons remarquer, en terminant, que nous avons admis dans toute cette étude, non seulement que les variations 8// des fonctions inconnues sont infiniment petites, mais que leurs dérivées hy'^ le sont également. Si l'on voulait supprimer cette dernière restriction, les conditions trouvées ci-dessus pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum, tout en restant nécessaires, pourraient cesser d'être suffisantes.