MSS^S^ I

et, a fortiori,

en désignant par r la plus petite des quantités d, d' , d" ^ et posant, pour abréger,

MSS^S^ M (27r)' -^*

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. qS

On obtiendrait la même limite pour le module de frapy* Soient enfin Xo -+• h, j'o + k, Zo-h l des points assez voisins de Xo, yoj Zq pour que les droites qui les joignent à ces derniers points soient respectivement comprises dans Tintérieur des contours K, K', K'', et soient 8, S', 8" les plus courtes distances de ces droites à ces contours; on aura

\[/{'^o -^ /', yo-^k, z^ M- /) —/(Xo, 7o, -o)]|

=z\ lh~^k-^^l-^)f{x,-\-ht,y,-^kl,Zç,'\-lt)dt /[Al 1^1 K1X N__

82. Ces préliminaires posés, cherchons à déterminer des fonctions^, z qui satisfassent aux équations données

€l qui, pour x = Xq^ se réduisent respectivement à y© -h A* et à Zo-h l, k et l désignant des constantes très petites. Nous poserons, à cet effet,

1>'-Jo = A+^c,^v(^-^.)H''aL ^, ,, ^)^

Substituons ces valeurs dans les équations (3), développons le second membre suivant les puissances de x — Xq, k, /, et égalons les coefficients du terme général; il viendra

96 TROISiftMB PARTIE. — CHAPITRE I.

F et ^ étant des polynômes à coefficients positifs, formés avec ceux des coefficients a, 6, c, dj où la somme des indices ne surpasse pas X 4- jx 4- v.

Les équations précédentes déterminent, successivement et sans ambiguïté, les coefficients c eX, d\ ils seront donnés par des expressions de la forme

( 5 ) CXjiv = FxjjLV) dxjp, r= *x

(JIV)

Fxjiv et ^X(xv étant des polynômes à coefficients positifs, formés avec les quantités a, b.

Les expressions (4)) où les coefficients c, d seront déterminés par les équations (5), satisfont évidemment aux conditions du problème. Si Ton y groupe ensemble les termes affectés des mêmes puissances de k et de /, on obtiendra un résultat de la forme

SfjLv et T(tv étant des séries qui procèdent suivant les puissances de ^ — Xq,

En supprimant dans les expressions précédentes les termes qui dépendent de A' et de /, il viendra

y yo — ^oo> '*' — ^0 — T,

et il est clair : i"que ces équations donnent un système d^intégrales qui se réduisent à yo> ^a pour x^=Xq\ 2® qu'on aura

'jiv

{.Ivl dy^àzi' «^^-"h^IvI ôy^,dz\

83. La méthode que nous venons de suivre suppose évidemment que les séries sur lesquelles nous opérons sont absolument convergentes. Nous allons vérifier qu'il en est ainsi tant que k^ l^ x — x^ seront suffisamment

ÊQUAnONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 97

Remplaçons, en effet, dans les séries (4) chacun des coef-

ficients «apy? ^a?y P^^r la quantité ^^q^ — j> limite supérieure

(le son module, et les quantités k, l par une même quantité positive m, au moins égale à |A:| et à |/|. Nous obtiendrons de nouvelles séries, à coefficients positifs, et dont chaque terme aura un module au moins égal à celui du terme correspondant des séries primitives. Celles-ci seront donc absolument convergentes si les nouvelles séries le sont.

Mais ces séries sont évidemment celles que Ton obtiendrait si Ton cherchait à déterminer des fonctions Y, Z, qui se réduisent à ^0 -f- /w, Zo-\' m pour x = x^^ et qui satisfassent aux équations différentielles

rfZ N

Or CD peut intégrer directement ces équations et s'assurer que ces fonctions Y, Z existent, et sont développables en séries convergentes quand m elx — x^ sont suffisamment peiiu.

Oo en déduit, en effet,

et) en intégrant de Xq à x^

Substituant dans la première équation, il vient d\ N

J - Cours, III. 7

OU, en séparant les variables et intégrant de Xq à x,

i[/--(Y-n)]»-i(,--/w)' = Nlog(i-^^):

et enfin

(7) Y-y.= r-^(r-/w)'-H3Nlog^-^-p^j.

La fonction de m et de j: — Xq ainsi définie n'a évidemment de points critiques que ceux pour lesquels on aurait

X ^~ Xq j, ,

I =: O, d OU X — Xq=: r

ou

d'où

(r-m)»4-3Nlog(^i-^-^) = o,

x — XQ^=r — re *^

Si donc on assujettit melx — Xq aux conditions suivantes (où q désigne une quantité positive -< /)

x — XQ\<Cr — re *^

Y — j'o restant monodrome et continu pour tous les systèmes de valeurs considérés, sera développable en une série procédant suivant les puissances de m et de x — Xq et convergente dans les limites ci-dessus.

Cette série se déduirait d'ailleurs de la série (4)) qu» donne y — yoy en remplaçant k, l par m et les coefficients' CX|AV par une limite supérieure de leurs modules. On ob — tiendra une limite supérieure de la somme des modules de ses termes, et a fortiori une limite supérieure du module de^ — j^O) en remplaçant m par gr, et x — x© par son module dans la série, ou dans l'expression équivalente (7).

Donc