MSS^ I

et, a fortiori,

en désignant par r la plus petite des quantités rf, rf', rf", et posant, pour abréger,

MS S^ (27r)» -^'

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. gS

On obtiendrait la même limite pour le module de frapy.

Soient enfin x© -+• A, yo 4- A*, 2© -i- ' des points assez voisins de j?o> ^0} ^0 pour que les droites qui les joignent à ces derniers points soient respectivement comprises dans Tintérieur des contours K, K', K*', et soient 8, S', 8" les plus courtes distances de ces droites à ces contours; on aura

! \[A^o ■+- fh Jo + k, Zo -+- /) — /(o-o, Jo, -o)]|

82. Ces préliminaires posés, clierchons à déterminer des (oDclions j^, z qui satisfassent aux équations données

dy du:

«l qui, pour x = a:©, se réduisent respectivement à y© -H A* et ^^0-1- /, Ar et / désignant des constantes très petites. Nous poserons, à cet effet,

Substituons ces valeurs dans les équations (3), développons le second membre suivant les puissances de œ — Xq, ^ ', et égalons les coefficients du terme général; il viendra

Les points (Xi, yt^ Zi), . . . , (x, J^, z) ne sorlîront donc pas du domaine D.

78. Si les intervalles partiels sont infiniment petits, les valeurs finales y, z tendront vers des limites déterminées. Pour l'établir, considérons deux modes de division A, A' dans lesquels les intervalles soient tous moindres que la plus

petite 8 des deux quantités e, jtt et désignons par y, z et j^,

z' les valeurs finales obtenues pour chacun d'eux; nous aurons à prouver que y — y et z' — z tendent vers zéro avec e.

Nous pouvons évidemment admettre que tous les points de division qui figurent dans A figurent aussi dans A'; sinon nous pourrions comparer successivement ces deux divisions A, A' à une troisième A'' formée avec tous les points de division de A et de A'. Ayant prouvé que y" — y^ ^'^ — ^ d'une part, ety^ — y, z^ — z' d'autre part, tendent vers zéro, on verrait immédiatement que leurs difl^érences j^ — y, z' — z tendent aussi vers zéro.

Soient donc

*^oy "^OlJ ■^02» • • • î *^1> • • • î *^ky ^kty • • • î ^A:-M i • * • y ^

les points de division de A';

la suite des valeurs correspondantes des deux variables^, z] nous aurons

yk^\ — yk=f{^kyyky 5*)(^a+i — ^*)

y'k+i "^/i^V fi^^kiy y'kiy 4/)(^it,/+l — ^ki)y

d'où

y'k^i—y'k—iyk^x'-'yk)

=y U^^kh y'kh Z'ki) —f{^ky ykj «a)] (^A,/-hi — ^ki):

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. gi

Jin-i— 7*-Hi|^|/i — 7)fc

Mais on a

+ 1/(^*> ri» -i) — /(-^^A» 7A-» 3^)1

Le premier terme du second membre est moindre que )v; car on a

\^ki'-^k\<à<t, l/x-i — 7i|<M|a:;t;— a:it|<Mo<e,

Le second est moindre que On aura donc

H-CXH-md/;^ — j^|4-|4 — 5A-|)]|^it+i — J^A-|.

On trouvera la même limite supérieure pour \z\^^ — ^^1. Ajoutons ces deux inégalités, et posons pour abréger

1/*— y*|-+-|4— ->t|-+- — = Ua..

Nous obtiendrons la relation Multipliant ces inégalités, il vient

Or, on i y'^=yt, z'^ = 3t', donc Uo= — • Cette quantité

ga TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

tend vers zéro avec e, et il ea sera évidemmcDt de même pour ly— j^l el\z' — z\.

7y. Les valeurs limites des quantités y^ z ainsi déterminées pour chaque valeur de x dans le domaine \x — ^o|>p sont des fonctions de x. Elles satisfont aux équations différentielles proposées.

Soient, en effet, y H- Ay, ^ -h A^s les valeurs de ces fonctions correspondantes k x -\- tix. Intercalant entre x et x-^ tkX des points de division X\ , x^, . • . , nous aurons

-+■ lim\ [/(arjt, yky 5^) — /(^, 7, s)]{xk^^— x^).

Or, si nous supposons Aj? <; 8, le terme qui multiplie (:ca+i — X/() aura son module moindre que X. La somme du second membre a donc un module moindre que

et sa limite ne pourra surpasser cette quantité. On aura donc

R étant un reste de module moindre que X, qui tendra vers zéro avec Ao:. Donc^ a bien pour dérivée /(x, y, z). On verra de même que z a pour dérivée /i (x, y, z).

80. La solution que nous venons de trouver est la seule possible.

Soient, en effet, Y, Z deux fonctions jouissant comme ^, z de la double propriété de satisfaire aux équations différen-

ÉQUATIONS DIFPÉREITTIELLBS ORDINAIRES. qS

tîelles et de se réduire à ^o» ^o pour j? = a:o. Les fonctions Y — jr, Z — z auront respectivement pour dérivées

Elles sont donc continues et comme elles s'annulent pour X = Xof elles ne pourront acquérir une valeur différente de zéro qa*après avoir passé par toutes les valeurs intermédiaires.

D'autre part, en vertu de nos hypothèses, tant que Y — y^ Z — z seront moindres que e en valeur absolue, le module de leur dérivée sera <Cm.2t, et le module des fonctions elles-mêmes sera moindre que m.2t\x — Xo|.

Il en résulte que dans tout l'intervalle de Xn — -; — à

Xo-\- 7 — les modules de nos fonctions seront «< - tant L^m a

qu'ils seront •< s. Ils ne pourront donc atteindre aucune

des valeurs comprises entre - et e, ce qu'ils devraient faire

pour pouvoir atteindre ou dépasser e. Donc ils resteront toujours moindres que e, quantité arbitraire. Ils sont donc nécessairement nuls.

Le même raisonnement montre qu'étant nuls au point

jTo -H 7 — ' "S le seront encore de Xq •+• 7 — a Xo -f- -, — > • • • >

et enfin, dans tout le domaine àe x^ — p à ^0 + p où nous avons pu définir les fonctions y, z.

81. Passons au cas des fonctions et des variables complexes. Soit encore

un système de deux équations difliérenlielles.

Nous admetlrons ici que (^07^09 ^^o) soit un point ordinaire pour les fonctions y, f\. On pourra donc, par définition, tracer autour de ^o? ^o -^o des contours fermés K, K', K", tels que /, /"i , et leurs dérivées partielles restent monodromes et continues, tant que :r,y, z ne sortiront pas de ces contours.

Soient rf, rf', d' les distances minima des points a:©, y^^ ^0 à K,

K', K"; S, S', s*' les périmètres de ces contours; M une limite supérieure du module de /et de/i, lorsque x,

y^ z décrivent respectivement ces contours.

On pourra écrire

ces développements restant convergents tant que les modules de ^ — j:^o> y — J'o» ^ — ^0 resteront inférieurs à rf, rf', d" . D'ailleurs

et Ton aura (T. I, n° 206)