Considérons, en second lieu, l'équation différentielle
(.4) œ^=nx,y),
OÙ f{x^ y) a la même forme que dans l'exemple précédent. Cherchons à déterminer les intégrales de cette équation, qui s'annulent pour x = o.
Soit
/(a?, j)=:X7-haio^ 4-a,o^' -\-a^xxy -^
Substituons, dans l'équation différentielle, à la place de^, une série
(i5) r = c, jcH- Cj^* H-. . .,
et égalons les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres. Nous obtiendrons une suite d'équations de la forme
oh Çijt est un polynôme à coefficients entiers positifs, formé avec les coefficients a, et les quantités C|, ..., c^^.
Si \ n'est pas un entier positif, on pourra résoudre ces équations par rapport aux c, et l'on en déduira un résultat de la forme
^li — ^^^
if^ étant une somme de termes ayant pour numérateur un
ÉQUATIO?(S DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Il3
produit de coeffîcienls a, multiplié par un entier positif, et pour dénominateur un produit de facteurs de la forme [x — X. Ces derniers facteurs sont tous différents de zéro, et leur module croît indéGniment quand [jl augmente. On pourra donc déterminer une limite inférieure / de leurs modules.
Cela posé, la série (i5) satisfait à Téquation (i4); mais il faut prouver qu'elle a un raj'on de convergence certaine. Or on accroîtra les modules de ses termes, en y remplaçant,
d'une part, les coefficients ««p par les quantités --— ë> limites
supérieures de leurs modules, et, d'autre part, les facteurs en dénominateur par /, limite inférieure de leurs modules. Mais la nouvelle série, ainsi obtenue, est évidemment celle que l'on trouverait en cherchant à développer la racine infiniment petite de l'équation algébrique
et converge pour des valeurs de x suffisamment petites.
9o. Pour reconnaître s'il existe d'autres intégrales que la série que nous venons de déterminer, et s'annulant également pour X = 0, posons
z étant une nouvelle variable. Substituant cette valeur dans l'équation différentielle et supprimant les termes indépendants de 3, qui se détruisent, nous obtiendrons l'équation transformée
dz (16) ^ TT = ^(^ H- ^lo-^? -h ^01^+ ^ o^*-H- • •)•
Nous avons à chercher une solution z de cette équation, J. — Cours, III. 8
Il4 TnOISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
qui ne soit pas conslammenl nulle aux environs du point j: = o, mais qui tende vers zéro lorsque x tend vers zéro suivant une loi convenable.
Soient donc
Xo un point voisin de l'origine; ^o^o la valeur correspondante de z\
L une ligne allant de x^ à l'origine, et lelle que z tende vers zéro quand j: décrit celte ligne.
L'équation (i6) pourra s'écrire
dz^ dx^ ^10 -f- b^^cc -H 6,1 3 4-. . . ,
OU, en supposant que \ ne soit pas nul et développant en série le dénominateur de dz^
dz dx , bxo-h h^QX -\-. . . , r-^ —{CQ-hCiZ-h...)dz-\' -è^ — j-^ dx
et, en intégrant àe x^k x le long de la ligne L, ^ y z X
Si X lend vers zéro, z tendant également vers zéro, les intégrales du second membre tendront vers des limites finies ei déterminées. Le second membre sera donc de la forme A -f- e, A étant une constante et s s'annulant avec x. On aura par suite
logf — log^ iz:A-hE;
d'où, en passant des logarithmes aux nombres,
4 = ii e^(A^e)^ Hm 4 = il e>A = c,
9Âf *^ U ù
c désignant une quantité finie et différente de zéro.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Il5
Pour que z tende vers zéro, il est donc nécessaire que x^ tende vers zéro en même temps que x. Discutons celte condition.
Soient
"k =zp -^ gi\ J7z=: p(cosO 4- /sinO),
on aura
I x^ I — eP^^^-'f^.
Quand x tend vers zéro, son module p tend vers zéro, son argument 6 pouvant varier d'une manière arbitraire, suivant la nature de la ligne suivie L. Pour que ;r^ tende vers zéro, il faut et il suffit que /?Logp — q^ tende vers — oo .
Soit d'abord q = o. Cette condition sera toujours satisfaite, quelle que soit la ligne L, si p est positif; mais elle ne pourra jamais l'être si p est négatif. Dans ce dernier cas, il n'existera donc aucune intégrale de l'espèce cherchée.
Si g n'est pas nul, on pourra toujours déterminer 0 en fonction de p, de telle sorte que la condition
lim(/?Logp — 7O) =1 — 00
soit satisfaite ou ne le soit pas. Mais ici il convient encore de distinguer le cas où p est positif de celui où il est négatif.
Si /? >> o, la condition précédente sera satisfaite toutes les fois que 6 sera assujetti à varier entre des limites finies. Pour que x^ ne tendît pas vers zéro avec x, il faudrait donc que la ligne L fût une spirale décrivant un nombre infini de révolutions autour de l'origine.
Si /? <; o, le contraire aura lieu et x^ ne pourra tendre vers zéro avec x que si L est une semblable spirale.
96. Ces préliminaires posés, nous allons démontrer qu'à chaque valeur de la constante c correspond une intégrale de l'équation (i6), développable en une série à double entrée suivant les puissances de x et de x^ et convergente tant que ces deux quantités seront suffisamment petites.
Il6 TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE I.
Posons en effet
Zz=iX^U'^
réqualion (i6) deviendra
(17) ^-n- = u(b^^x-^hii^x^u H- bi^x^-\-,, .)
Substituons pour u une série à double entrée
C^^œ^^'^'' ( (X, V rzi O, I , . . . , 00 ).
Égalant les coefGcients des mêmes puissances de x dans les deux membres, il viendra
F(jtv étant un polynôme à coefficients positifs, formé avec ceux des b et des c où la somme des indices est moindre que [x-hv.
Celle de ces équations qui donnerait Coo est identique; ce coefficient reste donc indéterminé, et l'on pourra lui assigner la valeur donnée c.
La résolution des autres équations donnera
çpjiv étant un polynôme dont chaque terme est un produit de facteurs 6, multiplié par une puissance de c et par un entier positif et divisé par un produit de facteurs de la forme s-^-Xt^ s et t étant des entiers positifs, dont Tun peut être nul.
Le module des facteurs s -^^0 = s -h pt-h iqt est différent de zéro et croît indéfiniment avec s ou t (l'hypothèse <jr = o, /> < o, étant exclue par ce qui précède). On pourra donc trouver une limite inférieure m, telle que l'on ait
\s-hlt\'> m pour toute valeur de s et de /.
lia série que nous venons de déterminer est une solution de Téquation différentielle (17) satisfaisant aux conditions posées, solution admissible tant que la série sera convergente. Or on diminue évidemment la convergence en remplaçant partout les facteurs 5 -f- X^ par m, c par son module C
et les coefficients 6ap par les quantités -^^y limites supérieures de leur module. Or on voit sans peine que la nouvelle série obtenue est celle que Ton trouverait en cherchant à développer suivant les puissances de x et de x^ celle des deux racines de Téquation
mv = mC -+-
ç ( —jr-i
=z mC -hMv
qui se réduit à C pour ^ = o, x^ = o.
Mais cette racine est évidemment continue et monodrome tant que les modules de a: et de x^ resteront au-dessous d^une certaine limite. Donc, tant que cette condition sera satisfaite, V sera développable en série convergente suivant les puissances de X et de x^, et la série qui donne u sera a fortiori convergente.
97. Supposons maintenant X entier et positif. S'il est > 1 , posons •
V — ^ X —H xz»
L'équation transformée en z, divisée par le facteur commun x^ prendra la forme
cl sera semblable à la primitive, le premier coefficient X étant diminué d'une unité.
Par une série de transformations analogues nous pourrons
Il8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
réduire ce coeificienl à l'unité. Reste donc à considérer l'équation
Nous allons démontrer qu'elle admet pour intégrale une série procédant suivant les puissances entières de a: et ^ log^ et contenant une constante arbitraire.
Désignons à cet eSet par Aïo» • • • , Aapt • . • les modules des coefficients «lo, • • • , û^a^j • • • J par \ une quantité positive un peu moindre que l'unité, et considérons d'abord, au lieu de l'équation proposée, la suivante :
dy
(ly) X -^ — Xr-+-A,oa?=:A,o^'4-Ai,^7-H
D'après ce que nous venons de voir, elle admet comme intégrale une série procédant suivant les puissances de x et de oc^ et contenant une constante arbitraire.
Posons
Par cette substitution, nous obtiendrons, comme nouvelle forme de cette intégrale, une série procédant suivant les puissances de x et de /, et qui sera encore convergente quand ces variables seront assez petites. Pour calculer directement fes coefficients de cette nouvelle série, nous remarquerons qu'on a
d'où
dt \oc^^ — X
ax I — A
Posons maintenant
ÉQUATIONS DIFFÉRBIVTIBLLBS ORDINAIEBS. 1 19
on aura
Substituons ces valeurs de y eix -^ dans Téquation proposée et égalons les coefficients des mêmes puissances de x et de / dans les deux membres. Les termes en t se détruisent identiquement; ceux en x donneront
Enfin on aura généralement, lorsque [x + v 2> i ,
(ai) (|A-^Xv— X)C^v--(v-hi)C|t-,.v+i = ?pLv,
ffpy étant le coefficient du terme en x^^f* dans le second membre de Téquation. D^ailleurs on voit sans peine que ^ j^^y est une somme de termes de la forme
où K est un coefGcient binomial et où les indices a, ^, [Xf^ Vi, ... satisfont aux relations
Vi -h . . . -i- Vp == V.
Ces équations permettent de déterminer de proche en proche tous les coefficients C|xv en fonction de Cio, qui reste arbitraire.
Ce premier coefGcient étant supposé réel et positif, la résolution des équations précédentes donnera pour C|tv une expression de la forme
F|ty étant une somme de termes positifs dont chacun est le produit : i^ d'une puissance de C109 ^^ d'une puissance de Coi = A|o + (1 — )^)C|o, 3° d'un produit de coefBcients Aap,
4"* d'un facteur numérique indépendant de X; le tout divisé par un produit de facteurs de la forme
On remarquera d'ailleurs que le nombre de ces facteurs, qui figurent ainsi au dénominateur de chaque terme, ne peut surpasser 2 (jl -f- v — i .
Supposons en effet que ce théorème soit vrai pour tous ceux des coeflGcients dont le premier indice est < (.t et pour tous ceux dont le premier indice est égal à [x et le second indice <[v. Si nous substituons pour ces coefficients leurs valeurs dans l'équation (21), elle donnera pour C^y une somme de termes dont le premier contiendra en dénominateurs un nombre de facteurs au plus égal à
l-i-2([JL — l)-hv-hl — |z=:2[i.-i-v — I.
Dans chacun des autres termes, le nombre des facteurs en dénominateur sera au plus égal à
l-}-2{x, 4-v,— i4-...-l-2|iû-|-Vû— I=:l4-2((X — a)-+-v — p
D'ailleurs la proposition se vériGe immédiatement pour C02 î donc elle est vraie généralement. Cela posé, faisons tendre X vers l'unité.
L'expression t = r- aura pour limite celle-ci
laquelle satisfait à l'équation
dl' ,
L'équation (19) sera changée en
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDIMAI&ES. 121
et, SI Ton cherche à satisfaire à cette dernière par une série de la forme
(Q2) y — Cio^ -hC;i <'-h. . . 4-C;xv^î^^'''4-. . .,
les nouveaux coefficients CI seront évidemment donnés par les mêmes formules que les C, sauf le remplacement de \ par Funité.
Pour montrer la convergence de cette nouvelle série, comparons un terme quelconque T' de CJ^v ^^ terme correspondant T de Cptv Les facteurs A|oH-(i — )^)Cio, qui figuraient au numérateur de T sont remplacés par la quantité moindre A|o. Quant aux facteurs [x+Xv — \ du dénominateur, ils sont remplacés par des facteurs [jl-hv — i, qui leur seront au moins égaux si v n^est pas nul. D'autre part, si v est nul, auquel cas [i-> a, on aura
Le nombre total des facteurs du dénominateur étant
^2[A4-v — i<2(iA4-v),
on aura donc
et, par suite,
Cela posé, soit r le rayon d'un cercle dans lequel la série (20) est convergente : on aura, en désignant par M une constante,
et, par suite,
Wv<î7Tz:
La série (22) sera donc convergente dans un cercle de rajon (2 — X)"'^r.
122 TROISIÈHB PARTIB. — CHAPITRE I.
Revenons enGn à Téquation primitive (18) el cherchons à y satisfaire par une série
Coi étant une quantité arbitraire ayant pour module Coi. Il est clair que les coefficients cj^v seront déterminés par les mêmes formules que les coefficients CJ^v? sauf le remplacement des quantités
^io> Aio> •••» Aflip, ...
par
et que lei coefficients c^,^ auront les C^^ pour limites supérieures de leurs modules. La nouvelle série sera donc convergente pour des valeurs assez petites de x et de t/.
98. Considérons, en dernier lieu, une équation algébrique irréductible
entre j^ et sa dérivée, et de degré n par rapport à celle-ci.
Une intégrale y de cette équation sera complètement
définie si l'on donne pour la valeur initiale Xq de la variable
indépendante x : 1** la valeur initiale j'o de y^ laquelle peut
être prise arbitrairement; 2° la valeur initiale de ^> laquelle
devra être choisie parmi les n racines de Téquation
/(sS'^"^)^^-
Si l'on fait décrire à x une ligne continue quelconque,
dy .
y et -p- varieront également d'une manière continue tant ox
que X ne passera par aucun point critique.
Soit Ç l'une de ces valeurs critiques. Nous avons vu que lorsque x tend vers Ç trois cas pourront se présenter :
I** y ne tend vers aucune limite;
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. ia3
a** y tend vers une valeur finie rj pour laquelle l'équation
/fê")=»
admette une racine multiple ou infinie, et -r- tend vers cette
racine.
3° y tend vers oo.
La première de ces hypothèses doit être rejelée. On pourrait, en efiet, assigner à x une valeur Ç' plus voisine de Ç qu'une quantité arbitraire e et telle : i° que la valeur correspondante de y eût son module au plus égal à une quantité fixe A; 2® que la distance du point V à chacun des points r\
pour lesquels l'équation^ = o donne pour -^ une racine multiple ou infinie soit au moins égale à une quantité fixe S.
Soit r une quantité positive moindre que S.
Pour toute valeur r/ de y qui satisfait à ces conditions, les m racines de l'équation /= o seront développables en série convergente suivant les puissances àey — yj' dans l'intérieur d'un cercle de rayon r décrit autour de V et sur sa circonférence. Elles resteront donc finies et continues. La région du plan couverte par ces cercles est d'ailleurs bornée et parfaite. Le module d'aucune de ces racines ne pourra donc surpasser un maximum fini M.
Cela posé, l'élément de fonction analytique, qui permet de déterminer la variation de y au delà du point Ç', a un rayon de convergence certaine, qui peut être assigné en fonction des deux nombres fixes r et M et qui, par suite, est lui-même un nombre fixe, plus grand que l'infiniment petit e qui représente la distance des points Ç' et Ç. Ce dernier point ne peut donc être critique, comme nous l'avions supposé.
Nous connaissons donc a priori les valeurs de y^ finies ou infinies, qui correspondent aux points critiques.
99. Soit 71 l'une de ces valeurs, supposée finie. Nous savons qu'en faisant tendre y vers t; suivant une ligne con-
venable, nous pourrons faire en sorle que -— -> ou son
inverse -7- tende vers l'une quelconque des n valeurs fournies par Péqualion
Chacune de ces racines peut être développée aux environs du point 7^ suivant les puissances croissantes, enti^'res ou fractionnaires de ^ — "n*
Soit
dx - ^
(23) =A(7-Yî)''+B(y-7))P4-...
l'un de ces développements; /?, a, p, . . . étant des entiers sans diviseur commun.
Si/>-f-a^o, l'intégrale du second membre, prise de j^ à r,, aura une valeur infinie ; y ne pourra donc atteindre la valeur r^
avec cette détermination de ^ j pour aucune valeur finie
de X.
Si/?-+-a>o, l'intégration donnera, en désignant par \ la valeur finale de x^
A p^ » PI?
et Ç pourra être un point critique de l'intégrale j^.
Pour nous en assurer, développons, suivant les puissances
croissantes de x — Ç, celles des valeurs de {y — i\y qui s'annulent avec x — Ç. Ces développements seront de la forme
où u représente successivement les diverses valeurs c!u
radical {x — i)*^».
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAItlBS. 125
On en déduit
y — ri=:{CiU-\-CiU*-{-.,,)P=CpUP-h Cp+i uP^^ -+-
On voit par là que le point Ç est en généi-al un point critique algébrique pour Tinlégrale y. Ce sera un point ordinaire, au moins lorsqu^on j arrive avec la détermination
dx
de -j- que nous avons adoptée, si le développement de^ ne
contient que des puissances de u mulliples de p -\-ol.
Ce cas se présentera si /? 4- a = i . Cette condition est d'ailleurs nécessaire. Supposons en effet qu'on obtienne, pour^ — r^,un développement suivant les puissances entières et positives de x — ç, tel que
y — T^ = Cg(œ — ^)'r-^ c^+i (^ — î)^"^* -h . . . .
On en déduira, en renversant la série,
X — S = C^ '7(7 - T.)7-H rf( j — T,)7+ ....
Comparant avec le développement (24)1 on voit qu'on doit avoir
(ji, V, . . . étant des entiers. Mais/?,/? -|- a, /? -f- p, ... n'ayant pas de facteur commun, on aura [i. = i , d'où /? 4- a = 1 . Considérons maintenant une valeur infinie de ^. Posant
y^ z= -, nous obtiendrons une équation transformée
et nous développerons les diverses valeurs de -r; suivant les puissances croissantes de z. Soit
(a5) =\sP+Bz''-^-...,
un de ces développements. Intégrons-le de 5 à zéro. Si /? -h a^o, rintégrale du second membre sera infinie. Donc^
ne pourra devenir nul ou y infini, avec cette détermination de la dérivée, pour aucune valeur finie de x.
Si /?-4-a^o, on aura, en appelant \ la valeur de x pour ^ = o,
d'où, en posant (a; — S)''"*'* = f^,
5 = c'^ £//> H- Cp+ 1 W''+* H- . . .
et enfin
Donc Ç sera, en général^ un point critique algébrique pour la fonction y^ lorsqu'on y arrive avec la détermination de la dérivée que nous considérons. Ce sera un pôle, si /? -+- a = I .
Nous avons ainsi déterminé la manière dont la fonction j^ se comporte aux environs de chaque point critique; mais la position de ces points critiques reste encore inconnue.
100. Considérons, en particulier, le cas où y est une fonction uniforme. D'après ce qui précède, ce cas est caractérisé parla condition que, dans chacun des développements précédents, /? -h a est nul ou négatif ou égal à l'unité.
Si celte condition est remplie, y^ n'avant que des pôles, sera une fonction méromorphe. Nous allons montrer qu'on peut la déterminer par des opérations purement algébriques.
En effet, -r- étant une fonction algébrique àe y^ x consi-
déré comme fonction de y sera une intégrale abélienne et aura, pour chaque valeur Y de y^ n systèmes de valeurs
Xi 4- 2ma) -h 2/?i'a)'4-. . .,
X;,4- 2ma) 4- im'iù' -^ . . ., où m, m\ . . . sont des entiers et aw, 2o>', ... des conslanles
linéairement distinctes, chacun de ces systèmes de valeurs
correspondant d'ailleurs à une des n déterminations de -j-
•pour y=Y,
L'intégrale j>^, considérée comme fonction de a:, admettra donc les périodes 20), 20)', ..., et, comme une fonction méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes linéairement distinctes, trois cas pourront se présenter.
101. PiiEyiiEiiCks : Il existe deux périodes distinctes, ato et 2co'. — L'intégrale y sera une fonction méromorphe et doublement périodique d'ordre n,
A chaque valeur de y, finie ou infinie, et à chacune des
dx déterminations de -y- correspondront des valeurs finies de x,
une dans chaque parallélogramme des périodes. Pour que ce cas se présente, il faudra donc que, dans chacun des développements (28) et (25),/?-f-a soit égal à 1; car, s'il était nul ou négatif, ce développement ne pourrait fournir aucune valeur finie pour a:.
Cela posé, soit p(w, ^2? ff^) la fonction elliptique de Weierstrass qui admet les deux périodes 20) et 210', La fonction p{x — Xq, g2^ gz) elliptique du second ordre, sera liée ky par une équation algébrique
du second degré en^ et de degré n en p(x — Xoj gi^ gz)- 11 reste à déterminer : 1° les coefficients A, B, ... du polynôme F; 2° les invariants gQi gz. On y parviendra en développant le premier membre suivant les puissances croissantes de ^ — Xq et identifiant le résultat à zéro. On a, en effet,
D'autre part, Téquation
donne, par difTérentiation, les dérivées successives de y exprimées au moyen de j^ et -— •• Or, pour x = Xoj on connaît la valeur j^o de y et l'on a précisé, en outre, celle des racines de l'équation ci-dessus que l'on choisît comme valeur
, , . dv
initiale de-jf-- On peut donc déterminer, pour a? = ;ro, la
valeur de y et de toutes ses dérivées et, par suite, développer j^ suivant la série de Taylor.
Les équations, fournies par cette identiGcation à zéro, sont évidemment linéaires et homogènes par rapport aux coefficients A, B, ... et algébriques par rapport à g^, gz-
102. Deuxième CAS : Il n'existe qu'a ne seule période a io. — Ceux des développements (aS) dans lesquels /? + a >> o donneront chacun une série de pôles de la fonction^, ajant pour formule générale Xo H- amo) {xq restant à déterminer). Aux environs de chacun d'eux, on aura pour y un développement de la forme
•^ (X — Xq — 2mUi)P X — Xq — 2 /Alto
où p et les coefficients a^,, ..., ao, ... sont donnés par l'anal jse précédente et ne dépendent pas de m. Cela posé, l'expression
Il =
IZi.r Tii.r,
admet la période 2 w. Elle a pour pôles les points Xq-^- '^ni w, les résidus correspondants se réduisant à l'unité.
Sa dérivée d'ordre A* admettra les mêmes pôles et sera, aux
environs du pôle ^o + ^mio, de la forme
(x — Xq — 2mci))*
R ne devenant plus inGni.
On aura donc
du (-i)P'^ dP-Ui ,
le reste^ admettant la période w et les pôles de j^, sauf ceux de la série Xq-\- 2.miù. On trouvera de même
S désignant une nouvelle fraction rationnelle formée avec
e ^ cl j^ une autre fonction périodique où une seconde série
de pôles a disparu. Continuant ainsi, on pourra mettre y
sous la forme
T étant une fraction rationnelle en e^ et Y une fonction périodique qui n*a plus de points critiques à distance finie, et qui, par suite, sera développable par la formule de Fourier en une série procédant suivant les puissances positives et
néfçatives de e " . Or M. Picard a démontré que, si cette série contenait un nombre infini de termes, Téquation précédente donnerait en général, pour chaque valeur de j^, une in-
finité de valeurs de e " . Mais à chaque valeur de y correspondent n séries de valeurs de x\ et, comme les diverses
