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valeurs d'une même série donnent la même valeur pour e ** , cette quantité n'a que n valeurs pour chaque valeur de y. Donc la série Y sera limitée, et y sera une fraction ration-
Tix
nelle en e ^ ; on aura donc
-Kir
Pet Q étant deux polynômes entiers en e " , l'un de degré /i, Tautre de degré ^^.
J. — Cours, III. Q
l3o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Les coefficients de ces deux polynômes se détermineront comme dans le cas précédent.
Il est aisé de trouver le critérium qui caractérise ce second cas. En effet, pour chaque valeur de y y l'équation (26) donne
en général, pour e " , /? valeurs finies et différentes de zéro ; d'où résultent pour a?, n classes de valeurs x^-h 2miù, .... Xn-i -f- 2mw, oTo, . • . , Xfi i étant des quantités finies. Il y a toutefois exception pour les deux valeurs (finies ou
mztjc
infinies) de y qui annulent le coefficient de e " ou le terme
indépendant de e^ ; car ces valeurs donnent pour e^ une racine, ou un groupe de racines, nulles ou infinies, auxquelles ne correspond aucune valeur finie de x.
Soit, par exemple, yt la valeur de y qui annule une ou plusieurs racines de l'équation. Soit q le nombre de ces racines. Aux environs du point j^i on pourra les développer en séries de la forme
On en déduit
^ = log[p,( V -7,)''+ P,(7 -/.)'+• • •]
=r ilog(j-7,) + logLPi-t-Pi(7-J'i)''-^-- ■•]
rizi log(7— 7,)-l-ïi + ï«(/- v,)'7h-...; d'où, en prenant la dérivée par rapport à 7,
Soit de même y^ la valeur de y qui donne des racines infinies, en nombre q\ On pourra développer leurs inverses en séries de la forme
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l3l
d'où Ton déduit
Si les racines nulles ou infinies correspondaient à une valeur infinie de y, ces développements suivant les puissances de jr — y^ ou de y — y2 devraient être remplacés par des
développements analogues suivant les puissances de — = z.
Les deux développements précédents doivent évidemment faire partie de la série des développements (aS) et ('25). Donc parmi ces derniers il en existera deux qui commencent par un terme de degré — i et pour lesquels /? -+- a sera nul, cette quantité étant égale à i pour tous les autres, qui doivent donner pour x des valeurs finies.
L'identification de ces deux développements avec (27) et (28) fera d'ailleurs connaître la période co, et les entiers q^ q\
103. Troisième cas : Il n^y a aucune période, — Dans ce cas X ajant n valeurs seulement pour chaque valeur de j', et n^ayant que des points critiques algébriques, sera une fonction algébrique de y. Réciproquement, y sera algébrique en X et, comme il est uniforme, il sera rationnel. On aura donc
P et Q étant des polynômes entiers en x^ l'un de degré /ï» l'autre de degré </i, dont on pourra déterminer les coefficients comme précédemment.
Pour chaque valeur de^, on aura n valeurs de x^ généralement finies. 11 n'y aura d'exception que pour la valeur (finie ou infinie) de^ qui annule le coefficient de x'', et à laquelle correspondra une racine, ou un groupe de q racines, infinies. Les inverses de ces racines pourront être développées en séries de la forme
l3a TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
d'où
dy q
Donc l'un des développements (28) [ou des développemenis (25) si la valeur de y qui rend x infini esl elle-même infinie]
commencera par un terme d'exposant — • On aura donc
pour ce développement/? -h a = — i, et pour tous les autres yy-f. a= I.
Les divers caractères dont nous avons reconnu la nécessité dans chaque cas, étant contradictoires entre eux, seront en même temps suffisants. On pourra donc a priori reconnaître dans quel cas on se trouve, sans qu'il soit besoin de tâtonnement.
10t. Comme application des résultats qui précèdent, cherchons, parmi les équations binômes de la forme
/î, )^i,)^2) • • • étant des entiers sans diviseur commun, celles dont l'intégrale est monodrome.
Les points critiques de
dx -1 -îi:i -^-'
sont a,, ûti, .... Pour l'un d'entre eux «i, on aura comme développement
D'autre part, si l'on pose^= -> on aura Téquation transformée
^(f;)"-a-.ra-«
Squàtions différe!«tibllbs ordinaires. i33
d'oà
Si donc nous posons, pour abréger,
A| Aj Aj — T~ A| — f— . • •
il sera nécessaire et suflisant que [x, [X|, [X2, . . . soient de la
forme ^ > i ou • Ces quantités satisfont d'ailleurs à
la relation
(29) [X4- jx,-h[x,4-...= 2.
Premier cas : U intégrale est doublement périodique, — Dans ce cas, a, [X|, |X2, . . . seront tous de la forme ^- »
et, par suite, au moins égaux à -^, sauf {X, qui peut être nul.
Supposons d'abord [ji = o. Il résulte de Téquation (29) que le nombre des quantités [X|, ^-2^ •••> qui sont toutes = ^, mais < I , sera 4 ou 3.
S'il y en a quatre, on aura nécessairement
|A,^m=lx3 — jx^— J, d'où \—\^—\^—\^i=:i, n = 2. S'il y en a trois, on aura, en substituant dans (29)) pour
M-n JA2i M-Sî leurs valeurs 1 > >
'^ ^ ^ ^1 /'i Pz
Pi P% Pi
Les quantités p\jp2i Pz étant supposées rangées par ordre de grandeur croissante, on en déduira
— ri, d'où Pi ^=3 ou a.
Pi
Si Pi = 3, on devra avoir
Pi=Pi=^9
l34 TKOISlkaB PàBTU. — CDAPITRE I.
d'où
Si p% = 2, il viendra
Pt Pi a
Si p2= 4y on aura aussi
Si />3== 3, on aura
Pi = 6,
ce qui donne les deux solutions
Xi=a, X,= i, Xj— I, n--.\,
X|m3, X|:=:4> Xj-::5, H -:~ 6,
Les solutions où (x n'est pas nul se déduisent évidemment des précédentes par la suppression d'un facteur. On obtient ainsi les nouvelles solutions
X|=i Xj^= Xj^: I, n-=:2, X|i=iX,=:2, n^=z3f
X,=i I, X,ni I, /* — 4>
Xj=4, X,= 5, /l=r.6, X|=:3, X,z=5, 7*1=6.
Deuxième cas : L'intégrale est simplement périodique. — L'un au moins des nombres [x, [Xi, [X2, . . . sera égal à 1. Soit d'abord [x = o, [Xf = 1 . L'équation (29) deviendra
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l35
les quantités [iL2, [A3, ... étant égales à i 011 de la forme
On voit par cette équation que le nombre des quantités [A2, [JL|, ... ne peut surpasser deux.
Si ces quantités sont au nombre de deux, on aura nécessairement
d'où
S'il n'existe qu'une seule quantité [jl2, on aura d'où
Xj=zXjrz:l, /i m I .
Lies solutions où [x n'est pas nul s'obtiendront encore par la suppression d'un facteur et seront les suivantes :
>.j=z2, Xjrzil, ^i HZ 2,
X|=: Xj=i I, /l = 2,
Troisième cas : L'intégrale est rationnelle. — Une des quantités [a, [a,, ... sera de la forme 9 et les autres de
la forme
Si [A = o et lA, = , [Ao = — , • • • I il viendra
^ ^ Ç ^ Pt
Pt q
On aura donc
jx,=:...= o et P%^q> d*où
l'entier q restant arbitraire.
l36 TROISlfcMB PARTIE. — CBÀPITRB I. — ÉQUATIONS, ETf.
Enfin, si [x n'est pas nul, on aura les solutions
X,=:^-f-i, n — q, Xi=i^ — i, /i = (7.
lOo. Les considérations développées dans cette Section permettent de définir, d'une manière plus précise, les diverses sortes d'intégrales que peut présenter une équation différentielle
^y ri \
iz- -=/(^'/)-
Soit X(i une valeur particulière de la variable indépendante. A toute valeur initiale y^ donnée à j', et telle que (^o>JKo)soit un point ordinaire pour la fonction y, correspond, comme nous l'avons vu, une intégrale de l'équation différentielle, dont on pourra suivre la variation, soit dans tout le plan, soit dans une région limitée par des lignes singulières. Outre ces intégrales, ordinaires par rapport au point Xq^ et qui diffèrent les unes des autres par la valeur de la constante j^o? il peut en exister d'autres, qui deviennent infinies ou indéterminées pour x = Xq^ ou prennent en ce point une valeur ^0? ^elle que {xq^ y^) soit un point critique pour la fonction/. Ces intégrales seront dites singulières par rapport au point Xq.
Cela posé, nous appellerons intégrale générale l'ensemble des intégrales particulières qui sont ordinaires pour quelque valeur de x] intégrales singulières celles qui seraient singulières par rapport à toute valeur de x.
Il est clair que l'existence de ces intégrales singulières sera un phénomène exceptionnel. Soit en effet ¥{x^y)=^o la relation qui doit exister entre x ely pour que/présente un point critique eu Xyy; il faudra, pour qu'il y ait une intégrale singulière, que la valeur dey en fonction de x^ tirée de l'équation F = o, satisfasse à l'équation différentielle proposée, ce qui n'aura lieu qu'accidentellement.
ÉQUATIONS LIKÉliaBS. l3y
