I. — Notions préliminaires

1. Nous avoDS vu dans le Calcul différentiel (Chap. I, § XIII) que, lorsqu'on a un certain nombre de relations entre une ou plusieurs variables indépendanles x^^ X2y • • • el des fonctions ^1,^2, ... de ces variables^ on pouvait, en combinant ces équations avec celles qui s'en déduisent par dérivation, en déduire une infinité d'équations diOférentielIes auxquelles satisfont ces fonctions.

Il nous reste à traiter le problème inverse, en cherchant à remonter des équations différentielles aux relations qui existent entre les variables elles-mêmes.

J. — Cours, m. I

Nous nous occuperons d'abord des équations différentielles ordinaires, où ne figure qu'une variable indépendante x.

2. Soit proposé un système de m équations différentielles entre x et m fonctions ^i, . . ., ym de cette variable. On pourra, par l'introduction de variables auxiliaires, ramener le système proposé à un autre système équivalent, où ne figurent que des dérivées du premier ordre.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que nous ayons deux équations différentielles simultanées

„ / dy d} V d^y dz d}z\

^ [^'^'dx'dx^' dx^' '''di'd^^)-'^'

-,/ dy d^Y d^Y dz d*z\

^'V^'-^' 35' 5^' 5iï' -' 55' 55"' j -°-

Posons

rfr„, ^-y. ^-f

On aura évidemment

ir-y, ^-y> Ëi-s'

dx~-^' dx~^ ' dx~ '

17 / , , dy , dz>\

Ces cinq équations différentielles forment un système manifestement équivalent aux deux équations primitives, mais où ne figurent plus que des dérivées du premier ordre.

3. Considérons donc un système simultané de m équations du premier ordre

-^ / dy dz du \

^ / dY dz du \

tQUÀTIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 3

entre la variable indépendante x et m fonctions inconnues j^,

Si parmi ces équations il en figure une, F = o, qui ne contienne pas de dérivée, soit y une des variables qu'elle contient, l'équation résolue par rapport ky donnera un résultat de la forme

(l) jr=^{X,ZyUy ...).

On en déduit

dy 09 09 dz d^ du dx dx dz dx du dx

Substituant ces valeurs dans les équations

Fi = o, F,=io, ...,

on aura un système de m — i équations difTérentielles pour déterminer les m — i variables z, m, . . .; on calculera ensuite^ par Téquation (i).

Supposons, au contraire, que l'équation F = o contienne

dv au moins une dérivée, telle que -^ • Résolvant par rapport à

cette dérivée, il viendra

dy ^f dz du

Substituons cette valeur dans les équations suivantes ; on obtiendra un système

(dz du \

équivalent au proposé.

Si l'une des équations cp, = o, ... ne contenait aucune dérivée, on pourrait s'en servir, comme il a été expliqué.

pour éliminer une variable et ramener Tétude du système proposé à celle d*un système de m — i équations diiTéren-

tielles seulement.

dz Si, au contraire, Téquation ç i = o contient une dérivée -j^ *

on en déduira

dz , [ du \

et, l'on substituera cette valeur dans les équations suivantes.

Continuant ainsi, on arrivera à mettre le système sous la

forme

dv __ ^ dz ^ dii ___ f

dx-'J' di"^^' dx-^^' '"'

J^ne contenant plus -4-^ f\ ne contenant ni -j- ni ^>

Portant maintenant dans chaque équation les valeurs des dérivées fournies par les équations suivantes, on obtiendra un nouveau système d'équations, de la forme suivante :

Un système d'équations simultanées du premier ordre, ainsi résolu par rapport aux dérivées, est dit ramené à sa forme normale.

On voit, par ce qui précède, que l'étude d'un système quelconque d'équations différentielles simultanées peut être ramenée à celle d'un système normal. Le nombre des équations de ce système normal équivalent au proposé servira de définition à V ordre de ce dernier.

En particulier, si l'on n'a qu'une équation diOerentielle

d'^'y ( dy d'"-W\

SQCATIOMS DOTÉUMTinXBS OROUIAIBBS. S

elle sera équivalente au système normal

Son ordre sera donc égal à m.

4. D'un système de m équations différentielles entre x et les m fonctions y^ z, u, . . . , on peut déduire, ainsi que oousalloDs le voir, une équation différentielle où ne figurent que Jet/.

En général, le nombre des équations données n'est pas suffisant pour éliminer ^, Uy ... et leurs dérivées. Mais, si nous prenons la dérivée de chacune des équations données, noas obtiendrons m équations nouvelles, en introduisant au plus m — 1 inconnues de plus, à savoir une dérivée nouvelle (le chacune des (onctions 2, m, En répétant celte opéralion, on arrivera évidemment à se procurer assez d^équations pour efl'ec tuer l'élimination.

Considérons, par exemple, un système de trois équations

Fi=o, F,=:o, F, = o

entre x,/, z, u. Supposons que l'ordre de la plus haute dénvée de chaque variable, dans chacune de ces équations, soit donné par le Tableau suivant :

nii

Kfférentions les trois équations respectivement A, A|, Aj fois. Nous obtiendrons ainsi un total de A + A| -|- Ao 4- 3 équations, entre lesquelles on aura à éliminer z et ses B preliières dérivées, u et ses C premières dérivées, B désignant

le plus grand des nombres A 4- w, A| -h /i| , Aa 4- /la^ et <

plus grand des nombres A-}-/?, A|+/?i, Aa-4-/?a; soît

tout B -H G 4- 2 inconnues.

En thèse générale, réllmination ne pourra se faire qu

le nombre des équations surpasse celui des inconnues.

devra doijc avoir

AH-At-hAj^B-hC

et, comme on a

on en déduit

A^/ij-h/?,, A = /i,-+-/?t.

On voit de même que A| est au moins égal au plus gr des deux nombres /i4-/?2> ^a-^Py et Aa au moins éga: plus grand des nombres n -^p^, n^-k- p.

Il est d'ailleurs aisé de voir qu'en prenant A, A| , A3 { cisément égaux aux limites inférieures trouvées ci-dessus, aura juste le nombre d'équations nécessaires pour l'éli nation.

Soit en effet, pour fixer les idées^

A= /Il -H />! = /Il -+-/?!, B = A 4- /i ^ Aj 4- /Il 5 Aj 4- /ij.

On en déduira

A 4-/1 = /i 4- /i,-h/?j7Ai4-/ii,

d'où

et, d'autre part,

A 4-/?=/? 4- ii4-/>i5 A,4-/?î.

On trouvera de même

Ai4-/?i<Aj4-/?t ou ^A4-/>,

suivant que A| sera égal à n 4-/?a ou à na 4-/>.

tQUATlONS DIFFÉRKNTIILLES OaDINAlRES. 7

Oo aura donc, dans tous les cas,

et, parsaite,

B -h C = Aj 4- /It -h A, -+-/>,=: A 4- Al -+- A,.

£o donnant àÂ, A^ Ai les valeurs ci-dessus, on aura donc Qoe équation de plus qu'il n'est nécessaire pour déterminer z, u et leurs dérivées au moyen de ^ et de ses dérivées. Ces valeurs, substituées dans la dernière équation, donneront une équation finale ne contenant que y, et ses dérivées jusqu'à Tordre D, D désignant le plus grand des nombres A -f- m^ A|-f-mi, Aj-f- /Wo.

Ce nombre D, qui représente l'ordre du système, sera évidemment égal au plus grand des nombres m-^- n^-\-p^y f^i + n-h P29 . .., qu'on obtient en associant ensemble trois nombres du Tableau (2) appartenant à la fois à des horizon- Ules et à des verticales différentes.

S. Ce résultat, qu'on étendrait sans difficulté au cas d'un nombre quelconque d'équations, peut se trouver en défaut >i z, u et leurs dérivées figurent dans les équations proposées de telle sorte que l'élimination puisse se faire avant qu'on ait formé toutes les équations auxiliaires qui paraissent au premier abord nécessaires, d'après le nombre des quantités à éliminer.

On obtiendra, même dans ce cas, une équation finale enjr de la forme

o'^sz, u, au lieu d'être immédiatement donnés en fonction dejet de ses dérivées, pourront être déterminés par de nouvelles équations différentielles, de la forme

cP^z [ dy d^-^z d^-^u\

/ dy d^-^z d^^u\

= ^*V^'-^' 5i' '"^ '''"'•' ^^vTi^ ^ÏI=ï/

s TROISIÈMB PARTIE. — CHÀPITaB I.

Éliminant u entre ces équations par la répétition du même procédé, on arrivera à faire dépendre l'étude du système primitif de celle d'un système de la forme suivante :

dru__ f dr-^u\

6. Considérons, en particulier, les fonctions déterminées par une équation différentielle

dv d^y

dx dx^

algébrique par rapport à x^ y, . . . , ^-^•

Toute solution d'une semblable équation satisfait évidemment à une infinité d'équations analogues résultant de la combinaison de F et de ses dérivées.

Réciproquement, soit y une fonction de x qui satisfasse à une série d'équations différentielles algébriques

F = o, FjziLO,

Toutes ces équations résulteront de la combinaison de l'une d'enlre elles avec ses dérivées.

Considérons, en effet, parmi toutes les équations de ce genre auxquelles ^satisfait, celles dont Tordre est minimum, et parmi celles-ci choisissons celle où la plus haute dérivée est élevée à la puissance minimum. Soient a et |i. cet ordre et ce degré, F = o Téquation correspondante; F< = o une autre équation quelconque du système.

De l'équation F = o et de ses dérivées on pourra déduire les

valeurs de , ^^^j •••et des puissances de -7-=;^ de degré ^|jl en loncUon rationnelle de x, j^, -7- , • • • 1 -j-— >•••>( ~^ \

iQUÀTIOllS OIPFftRKVTlBLLBS OftDIIfAlRES. 9

Substituant ces valeurs dans F|, on obtiendra une nouvelle

équation <^ = o, qui ne contiendra plus que x^ y^ -^ > • • • >

55* '"' (^Ta) ' Mais, d'après notre hypothèse, y ne

satisfait à aucune équation de ce genre. Donc Téquation ^ = 0 est une identité.

Nous dirons que la fonction y est une solution propre de l'équation F = o et une solution impropre des autres équations F, = o, ... ; et nous appellerons ordre de la fonction l'ordre de Téquation F = o.

Diaprés cette définition, les fonctions algébriques seront d'ordre iéro; les fonctions d'ordre >o seront transcendantes.

Une équation différentielle algébrique F == o est dite irréductible, si elle n'admet que des solutions propres ,

7. Soient yj Zy ... des solutions des équations différentielles algébriques

^/ dy d^y\

ae degrés jji, v, . . ., par rapport a -j^j — ô> • • • •

Soient, d'autre part. Y, Z, ... d'autres fonctions satisfaisant à des équations analogues

Supposons qu'il existe entre ces diverses fonctions et leurs dérivées une relation algébrique

Si nous éliminons Y, Z, ... entre cette équation et les équations (4)9 nous obtiendrons une équation différentielle

lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

G= o entre y^ Zj . . . , qui représentera la condition nécessaire et suffisante pour que ces fonctions, associées à des solutions convenablement choisies des équations (4)y satisfassent à Téquation ^ = o.

Si donc l'équation G = o n'est qu'une conséquence des équations (3) et de leurs dérivées, tout système de solutions de (3), associé à un système convenable de solutions de (4)9 satisfera encore à l'équation ^^ = o.

Ce cas se présentera nécessairement s'il n'existe entre les solutions y, Zj . . . , primitivement données, aucune relation algébrique de la forme

(5) H(^a;, 7,...,^^, ;.,... ,^,...jz=o,

ou --r^y T^^ "' "S^^^^^ *v^c ^^s degrés respectivement

inférieurs à [jl, v, ....

En effet, au moyen des équations (3) et de leurs dérivées,

on peut éliminer de G les dérivées , ^^.3 •••, -—s — > ••• ^ dx^-*-^ dxP-*-^

et les puissances ( -7-^ \ y i —z I > • • • • On obtiendra ainsi

une équation de la forme (5), laquelle devra, par hypothèse, se réduire à une identité.

8. Comme application des considérations qui précèdent, cherchons la forme la plus générale des relations algébriques qui peuvent exister entre des intégrales abéliennes^i, ...,^in définies par les équations différentielles algébriques

Soit

(6) V(j:,j„ ,..,y^)=zo

une semblable relation. Nous pouvons évidemment admettre

ÉQUATIONS DlFPÉRBlfTIKLLBS ORDINAIRES. Il

(fa'il n'existe aucune relation de même nature entre les fonctions ^i, . . . , ^m-i et la variable indépendante. L'équation (6), résolue par rapport à jKmj pourra s'écrire

D'après le théorème précédent, cette équation subsistera si l'on y remplacerai, ...,^m-i pa^r des solutions quelconques des équations Fj, ..., F;„i, pourvu qu'on remplace en même temps y m par une solution convenable de Téquation FjR. Mais il est clair que les solutions de chacune de ces équations s'obtiennent toutes en ajoutant à l'une d'elles une constante d'ailleurs arbitraire. On aura donc

<^if • • • ) Cm~~\ étant des constantes arbitraires, et Cm une autre constante, dépendant de celles-là.

Prenant la dérivée de cette équation par rapport à la constante C| , il viendra

dcm ^<p(^, ytH-C|, . ..) __ d^(x^y^-^Cx, . . .) de, ■" de, ^ dyx

et, en posant c, = . . . = Cm-i = o,

k^ désignant la valeur constante que prend dans cette hypothèse la dérivée *"

de,

Cette dernière équation doit se réduire à une identité, puisque nous supposons que x, y%^ . . . , ym^\ ne sont liées par aucune relation algébrique. On aura de même identiquement

la TROISlfcME PARTIE. — CHAPITRE I.

^2» • • • 9 km^\ étant des constantes. On en déduit

X étant une fonction algébrique de x, La relation cherchée sera donc de la forme

9. Ces préliminaires posés, il nous reste à indiquer les procédés par lesquels on peut intégrer une équation différentielle (ou un système de semblables équations), c'està-dire déterminer ses solutions.

Il est aisé de voir, par des exemples, que ce problème est indéterminé.

Considérons, en effet, une équation

entre la variable indépendante j?, la fonction j^ et la constante arbitraire c. On en déduit par différentiation

Tirons la valeur de c de l'équation (7) pour la substituer dans (8); il viendra, en représentant par des parenthèses le résultat de cette substitution.

Cette équation différentielle admet pour solution la fonction j', définie par l'équation (7), quelle que soit la constante c. Â chaque valeur de cette constante répond une solution particulière. L'ensemble de ces solutions se nomme la solution générale.

Pour reconnaître s'il existe d'autres solutions, en dehors de celles que nous venons de déterminer, introduisons une

ÉQUATIONS DIFFÉRBIfTIBLLBS ORDIlfÀlRBS. l3

variable aaiiiliaire c définie par Téquation (7). Cette équation diflereotiée donne

-^dx-^ ^dy-{-^dc=zOy dx ây ^ de

€1, en substituant pour c sa valeur tirée de (7), o'j enfin, en tenant compte de Téquation (9),

On peut satisfaire à cette équation de deux manières En posant

de =3 o, d'où c -=. const. ;

U valeur correspondante de y étant donnée par Téqualion (7), on retombe ainsi sur la solution générale ; 2** En Dosant

Cette équation détermine la valeur àe y en fonction de x, L'inconnue auxiliaire c sera ensuite déterminée par Téqualion (7).

La nouvelle solution ainsi obtenue se nomme la solution singulière de Féquation différentielle.

En considérant x, y comme les coordonnées d^un point, chaque solution particulière

où c est supposé constant, représente une courbe.

La solution générale représente l'ensemble de ces courbes. Enfin la solution singulière, définie par l'équation

l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1.

résultat de rélimination de c entre les équations

représentera l'enveloppe de ce système de courbes.

Il arrivera parfois que les deux équations (lo) soient incompatibles, auquel cas il n*y aura pas de solution singulière; ou que la valeur de c en fonction de x, déduite de ces équations, se réduise à une constante; dans ce cas, la solution singulière se confondra avec l'une des solutions particulières contenues dans la solution générale.

10. Les considérations précédentes peuvent aisément s'étendre à des systèmes d'équations difTérentlelles simultanées. Soient, par exemple,

(II) ?i=o, «p,= o

deux équations entre la variable indépendante x^ les deux fonctions yt , y 2 et deux constantes C| , ^2 ; on en déduira, en différentlant et éliminant C|, C2, les deux équations difiérentielles

dont les équations (11) représentent la solution générale.

Pour obtenir les autres solutions s'il en existe, prenons pour inconnues auxiliaires les quantités C|, c^ définies par les équations (11).

La dlfférentiation de ces équations donnera

Ùld:,+ pldy,+ ^dy,+ pidc,+ pidc, = o, dx d/t -^^ (îji dc^ dcx ^

^rf^+^rf,, + ^rf^,+ ^rfc,+ ^rfc.= o dx dyx -^ àyt àc^ âCf

ÉQUATIOlfS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l5

OU, en éliminant C|, Ca et tenant compte des équations (la),

On peut satisfaire à ces équations :

1° En posant

dCi =z O, dCf -rzL O,

d»oà

Cl =: const. , Cl ■=. const. ;

on retombe ainsi sur la solution générale; 1^ En posant

'=(è)(è)-(fe)(è)=»'

aaqnel cas les équations (i3) se réduisent à une seule d'entre elles, par exemple à

Cela posé, des trois équations

OQ pourra déduire les valeurs de Ci, C2, JK2 ^n fonction de x etde/|. Substituant ces valeurs et leurs différentielles dans l'équation (14)9 ^Ue prendra la forme

X rfx 4- Y ûf/i = o,

où X, Y sont des fonctions de x et de j^i .

Toute solution y^ de celte équation, combinée avec la valeur correspondante dejKa tirée de A = o, donnera une solution singulière des équations différentielles (12;.

3^ Enfin, si les équations

(S)=«. (fe)=°. (&;)=«. (&■)=

étaient satisfaites par un même système de valeurs de j^i,^2!

l6 TROISIÈME PARTIB. — CHAPITRE I.

elles fourniraient une nouvelle solution; mais le système de ces équations est généralement surabondant.

11. Le problème de l'intégration des équations difierentielles (ou des systèmes d'équations différentielles) peut être envisagé sous deu\ points de vue différents.

On peut se proposer d'obtenir une solution générale. Celle-ci trouvée, les solutions singulières s'en déduiront immédiatement si l'on a affaire à une seule équation, ou s'il s'agit d'un système d'équations différentielles, par l'intégration d'un nouveau système d'ordre moindre que le proposé. On pourra ainsi former le tableau de toutes les solutions possibles.

Mais, dans les applications du Calcul intégral, la question de l'intégration se présente autrement. Les fonctions inconnues sont assujetties, non seulement à satisfaire aux équations différentielles données, mais à d'autres conditions accessoires qui achèvent de les préciser, de telle sorte que le problème ne présente plus rien d'indéterminé.

Considérons, par exemple, le mouvement d'un point dans l'espace. D'après les principes de la Mécanique, ce mouvement sera défini par les six équations suivantes :

dt ^'

dt~-'^'

di ''

dx' y

"" di - ^'

où m désigne la masse du point; x^ y^ z ses coordonnées à l'époque t\ X, Y, Z les composantes de la force qui le sollicite.

Il est clair que la question ainsi posée est encore indéterminée. Mais on pourra achever de la préciser en se donnant, par exemple, la position du point, et les composantes de sa vitesse à l'instant initial t^. Le problème deviendra, en général, déterminé, et pourra se formuler ainsi :

Trouver six fonctions Xy y^ 5, xf^y^ z' de la variable f,

ÉQUITIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES. 17

qui satisfassent aux équations différentielles (i5), et qui prennent des valeurs données Xq^ ^q^ Zq, x^, y'^^ z'^ pour t = t..

La question ainsi posée sera facile à résoudre si Ton peut déterminer la solution générale du système (i5). Cette solution sera, en effet, donnée par un système de six équations

entre x,^, 5, xfy y'^ 5', t et six constantes arbitraires «i, ..., 0%, En exprimant que ces six équations sont satisfaites lorsqu'on y pose t = to, x = 0:©, . . . , z'= «p, on obtiendra six équations de condition pour déterminer les valeurs de a^ • • •, ai correspondantes à la solution particulière que Ton cherche. Mais ce n'est que dans des cas très spéciaux qu*on sait obtenir la solution générale d'un système d'équations différentielles. On se trouvera donc réduit le plus souvent à étudier la solution particulière qui satisfait au problème déternûné que Ton a en vue. Il existe pour traiter cette nouvelle question des procédés d'approximation numérique que nous exposerons plus tard, et qui seraient inapplicables au problème plus étendu, mais plus vague, de la recherche de la solution générale.

n. — Équations du premier ordre.

12. Considérons une équation différentielle du premier ordre ramenée à la forme normale

dy ^

(1) dy — Xdxzi^o.

Au lieu de cette équation, on peut considérer, avec Euicr,

J. - Court, 111. a

l8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

la suivante

(a) . [kdf — [t.Xdx-=Oy

où [JL est une fonction de x^ y choisie à volonté.

L'équation (2) est, en eflet, équivalente à (i), tant que {i n'est ni nul ni infini. La seule différence est qu'elle pourra admettre la solution nouvelle p. = o, ou perdre la solution

Supposons le facteur [a choisi de manière que le premier membre de l'équation (2) soit une différentielle exacte. On pourra déterminer, par de simples quadratures (t. II, n° 161 ), une fonction f , telle que Ton ait

Lors même que ces quadratures ne pourraient s'effectuer exactement, il sera toujours possible de déterminer, avec telle approximation que l'on voudra, la valeur de f pour chaque système de valeurs de :r, j^.

Cela posé, l'équation (2) se réduit à

ûf«p=. o

et donne immédiatement

^ = const.

Le problème de l'intégration sera donc résolu dès qu'on aura déterminé, soit la fonction f , soit le multiplicateur {ji, d'où f peut se déduire par quadrature.