L'équation

d^ziz ikdy — (xX dx

se décompose dans les deux suivantes :

Éliminant [jl, on obtiendra l'équation aux dérivées par-

ÉQUATIONS DIFFÉRElfTIBLLBS ORDINAIRES. 19

tielles

L^intéçration de cette équation aux dérivées partielles et celle de Téquation (i) sont deux problèmes entièrement équivalents.

En effet, soit f une solution (ou intégrale) quelconque de Téquation (3). On aura

L'équation

sera donc équivalente à e/f = o et admettra la solution générale

c HZ const.

Réciproquement, supposons que, par un procédé quelconque, on ait obtenu une solution générale de réquation(i), telle que

c étant une constante arbitraire. Cette équation, résolue par rapport à c, prendra la forme

DifTérentiant, il viendra

àx oy ^

Cette équation devant être équivalente à l'équation primitive (i), les coefficients de dx et de dy doivent être propor- ^onnels; d'où la relation

ùx oy

Donc ^, est une intégrale de Téquation (3).

TROISIËHB PARTIS. — GHAPITRB I.

Cette intégrale une fois connue, on pourra en déduire toutes les autres. Soit, en eflet, f une autre intégrale quelconque; des deux équations (3) et (4) on déduit

do dx

ày

î'îi 'ày

équation qui exprime que f est une fonction, d^aîlleurs arbitraire, de (pi .

14. Quant au multiplicateur pi, il doit satisfaire à la condition d'intégrabllité

dx dy '

et rrciproqueraent, toute solution de cette équation donnera un multiplicateur.

Connaissant un multiplicateur p. et Tintégrale ^ correspondante, on en déduira aisément tous les autres. Soit, en eflet, [Ji'= [jLv un autre multiplicateur; on aura

dx dy

(d}s. d^X\ /dy ^(^\

((h ^^(h\ =-Aô-.-^''Ty)

Donc V sera une intégrale de Téquation (3), et Ton aura V = F(!p), F désignant une fonction arbitraire.