La définition de r(^) par l'intégrale définie

est bornée au cas où z est réel et positif. Mais il est aisé de la modifier, de manière à obtenir une expression de r(^) en intégrale définie applicable à toute valeur de z. Considérons en efiet l'intégrale

e-'/*-' de

prise suivant une ligne L partant de l'infini positif et y re-

venant, après avoir entouré Torigine dans le sens direct, <:omme l'indique \iijig- 4-

Pour définir complètement cette intégrale, il faut préciser

quelle est celle des déterminations de la fonction /^~* que

Ton adopte. Soit

tr=: p(cos<p -+- t sincp);

on aura, par définition.

Pour chaque position du point tj p est complètement déterminé; mais l'argument <p n'est connu qu'aux multiples près de u-ït; suivant celle de ces valeurs que l'on adopte, celle de t'"* variera.

Nous prendrons pour valeur de cp celle qui varie de o à 2-7^ lorsque / se meut sur la ligne L. On aura, dans ce cas,

e-U'-'^dt—{e^'^'*^—i)r{z).

En effet, les deux membres de cette égalité sont des fonctions continues et uniformes de z. On sait que deux semblables fonctions sont égales dans tout le plan dès qu'elles sont égales le long d'une ligne déterminée. Il nous suffira donc de montrer que l'égalité a lieu pour les valeurs réelles et positives de z.

Dans ce cas, la ligne d'intégration L peut être déformée de manière a se composer ; i® de l'axe des ^^ de oo à c,

J. — Cours, III. 17

^58 TROISIÈME PARTIE. — QlfAPITRB II.

e étant une quantité infiniment petite; 2" d'un cercle de rayon e décrit autour de l'origine; 3** de Taxe des a: de t

Si e tend vers zéro, l'intégrale rectiligne / aura pou.* limite

où Ton prendra pour t'~* sa valeur réelle.

Cette intégrale est égale à — r(5).

L'intégrale suivant le cercle est nulle. Enfin l'intégrale de retour sera

parce que la rotation autour de l'origine a multiplié t^~* par le facteur e2«'<'-<^=z: e'^ît'*.

L'égalité est donc démontrée.