do d^ r
duisant dans ce cas a V- = o, -— = o, o serd une fonction
df oz ' *
de X seul, que l'on peut intégrer.
Nous allons montrer d'ailleurs que ces conditions seront suffisantes pour des valeurs quelconques de m et de /i si elles le sont pour m — i , n.
Nous remarquerons tout d'abord que le développement des divers termes de M ne fournit que des dérivées de y et de z d'ordre inférieur respectivement à a/n et n -h m, sauf
</"* do le dernier terme ( — i)*";!.^, -r-^ dont le dé\eloppement
contient les deux termes
Ces termes ne pouvant se réduire avec aucun autre, M ne pourra s'annuler identiquemeni que si l'on a
ce qui montre que f est nécessairement de la forme
P ne contenant plus^'" ni z", et Q ne contenant plus j^*". Posons
rm-i p^^m-1^
y*~* seul étant traité comme variable dans cette intégra-
48o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
tion; U sera une fonction de x, y, . . .j y'^~* ; js, . . • , ^s""*, dont la dérivée partielle par rapport à y"^'* sera P, et l'on aura, par suite,
dV dV dV , àU ^ dV ,
— Py"» ■+■ R,
R ne contenant plus^"*.
Si donc on pose
rfU
la fonction (p, =-- Q — R ne contiendra plus j^"*. D'ailleurs elle satisfera évidemment aux équations (i4)f ^^^ 7 y satisfait par hypothèse, et -7— étant une dérivée exacte y satisfait
aussi nécessairement. Donc, le théorème étant supposé vrai pour m — I , /i, cpi est une dérivée exacte, et il en sera de même pour <p.
364. Proposons-nous , comme seconde application , la transformation des équations de la Dynamique.
Considérons un système de n points p^^ ..«, pnj de masses /Wi, . . ., m,,, et dont les coordonnées X|, j^i, 5|, . .., ^ny y Ht ^n soicnt liées par r équations de condition
(i5) ?i = o, ..., «pr^o.
Soient X|, Y<, Z| ; ...; X^, Y», Z^ les composantes des forces qui sollicitent ces divers points, et admettons, ce qui a lieu dans des cas très étendus, que ces composantes soient
les dérivées partielles ^ — > -7 — y -^r—: •••: -r — > -5 — > ^ —
^ âXi d/, dzi' dx^ dfn àz^
d'une même fonction U des coordonnées x, y^ z et du
temps t. D'après les principes généraux de la Mécanique,
on obtiendra les équations du mouvement en joignant aux
relations ( i5) les suivantes :
(i6) /-r nttYi-^li~- -•r-...-f-Xr-T^ ^o, ) (i = i,...,n),
-r^ - m/5^ -t-Xj -.-^ -i-...-hA;.-ri- ~0, OZi OZ, OZi
^H, •••> V étant des inconnues auxiliaires représentant les tensions qui existent dans le système.
Représentons, pour abréger, par T la demi-force vive
i^m,(^;'+jK;'-i--i«)
et considérons Tintégrale
{V-^T)dL
Les équations (i5) et (i6) sont précisément celles qui expriment que la variation de celte intégrale est nulle lorsque Ton suppose que les limites t^ et t^ restent constantes, ainsi que les valeurs initiales et finales des diverses coordonnées Xi^yi, Zif et que d'ailleurs ces coordonnées restent assujetties, dans le cours de leur variation, aux équations de condition (i5).
Cela posé, les relations (i3) permettent d'exprimer les in coordonnées j;, y^ z en fonction de 3/i — /• d'entre elles ou, plus généralement, en fonction de 3/i — r nouvelles variables entièrement indépendantes ^i, q2, .... Substituons ces valeurs dans l'intégrale. On aura
et, par suite, T se transformera en une fonction de q^^ ^2, ... et de leurs dérivées ^'j, 9',, ..., homogène et du second
J. — Cours, m. 3i
48a TROISIÈME PARTIB. — CHAPITRE IT.
degré par rapport à ces dernières quantités; quanta U, il
deviendra une fonction de ^i, (72,
Les nouvelles variables ^i, q^y ... ne sont plus assujetties à aucune équation de condition; leurs variations sont donc arbitraires dans tout le champ d'intégration; elles doivent seulement s'annuler aux limites. Pour que la variation de rintégrale
j:iv^^^'-m^¥
s'annule, il est donc nécessaire et suffisant que l'on ait
Ce sont les équations transformées que nOus voulions obtenir. On peut d'ailleurs les remplacer par un système canonique en prenant pour inconnues auxiliaires les quantités
-r-; • C'est un cas particulier de la proposition plus générale
démontrée au n° 3S7,
365. Brachistochrone. — Proposons-nous de déterminer le chemin que doit suivre sous l'action de la gravité un point animé de la vitesse initiale Po pour se rendre d'un point ^oJKo^o à un autre point x^y^ z^ dans le temps le plus court possible.
Prenons z pour variable indépendante. La différentielle de
l'arc de la courbe cherchée sera y/i -h x!^-\-y^ ; la vitesse ç^
à un instant quelconque, sera \^v\ — ^S{^ — -^0)1 enfin la durée du trajet sera donnée par l'intégrale
CALCUL DBS TARIATIONS. 4^3
C'est cette expression qu^il s'agit de rendre minimam. On a
i. \fi
II 4- r '[MSj7H-NS7]t/5,
en posant, pour abréger,
II = — -- - - - - oz-h -, .-=^ • , I
[Iz -f- x'(lx -^ x'ùz) -h.r' (8v -\-y Ss)"]»
rf x'
M =: — -1 -, — T^^rz — — ^ ^^z — z= y
ciz yjT^;;r^'^-^f^\/^ï^ig{z-z,) ^ ^__ d y
^- \Ji-\-x'^-\-y'^\/vl — ig{z— Zq)
Les deux équations difTérentielles de la courbe cherchée
donnent immédiatement
el,
par
suite,
+ Cj,
r, Co ^3 étant des constantes.
On voit ainsi que la courbe cherchée est située dans un plan vertical. Pour mieux reconnaître sa nature, choisissons
484 TROISifcVB PARTIE. — CHAPITBB IV.
ce plan pour plan des xz ; on aura, dans ce cas, ^ = o, et Téquation diOférentielle de la courbe se réduira à
d'où
en posant, pour abréger,
1g 2gC* 1g
Posons
a — b a-h b z ^ cos^;
il viendra
dx a -\- b .
-ï- = sm
dt 2
^ - a-^b . ^ \ — CCS/ e.x':=z 9in/i/
, » V • • « CL -\- b - ^
:= (a + o) sin'^^=: [i — cos^J,
d'où
(i8) x — '^~\t — î:\nt\->rk,
k étant une constante.
Les équations (17) et (18) peuvent s'écrire
z-h b= (i — cos^),
X — a: = (t — sinl)
et représentent une cycloïde dont la droite directrice est dirigée suivant Taxe des x.
Si les points Xq, yoj ^oî ^u y\y ^\ sont supposés fixes, 8x0, Syoî 8^0, 5j?,, 8yi, 854 seront nuls, de sorte que H s'évavanouira de lui-même. Mais les quatre constantes introduites
CALCUL DES YABIATIONS. 485
par l'intégration des équations M = o, N = o se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés.
Supposons, au contraire, quelle point(a:o»j^o>^o) étant fixe, la position du point (^o^o ^i) ^^ ^^î^ P^s donnée d'avance, mais qu'il soit seulement assujetti à se trouver sur une surface
On aura encore hxo = S^o = ^^o = o > quant à hx^ , 8^i , o3|, ils seront liés par l'équation de condition
Toutes les fois que cette condition sera remplie, la quantité H, qui se réduit à
devra s'annuler; on aura donc les équations de condition
qui, jointes à '^j^ = o et aux équations qui expriment que la courbe passe par ûCq, yo^ ^o ^t par x^ , j^'i , 5| ,. détermineront les constantes d'intégration et les coordonnées finales ^<,
Les équations (19) expriment évidemment que la tangente à la courbe cherchée au point (:r<, ^<, Zt) est normale à la surface ^ = o.
Supposons encore que, (^ojJ^'o? ^0) étant fixe, (a7|,j^i, -3|) soit assujetti à se trouver sur la courbe
486 TROISIEME PAETIB. — CHAPITRE lY.
Les variations 8xi, S^i, Zzi seront liées par les deux équa*
lions
i-^-ji 5-1 ) = o»
et toutes les fois que ces conditions seront remplies, l'exprèsfiion devra s'annuler, ce qui donne Téquation de condition
/d^\ fâ^\ fm I \àzj, \dj^J, \dyj, I
{Èl\ (ÊL\ (^\ ' \dzj, \dxj, \ôyj,
qui, jointe aux équations ^ = o, ^=: o et à celles qui expriment que (^oj^^Oî -^o) et (j^i,^'i, z^) sont sur la courbe, déterminera encore toutes les inconnues du problème. Cette équation exprime que la courbe cherchée est normale à la courbe di = o, '^ =r o.
Le cas où (^0)>'o> ^a) serait lui-même variable se traiterait de la même manière.
366. Ligne de longueur minimum entre deux points. — Soient Xo, yo» ^o et a;,, yt, z^ les deux extrémités de la ligne cherchée. Nous supposerons, pour plus de symétrie, les coordonnées x, y, z exprimées en fonction d'un paramètre t. On pourra évidemment passer de la ligne cherchée à toute autre ligne infiniment voisine en faisant varier Texpression de x^ y^ z en fonction de ty sans altérer les valeurs initiale et finale ^o et t^ de ce paramètre. Nous aurons donc à annuler la variation de Tintégrale
1= Ç ds— f V^'*-i-y*-hV*^^
où les limites t^y t^ restent fixes.
CALCUL DBS TABIATI0N8. 4^7
On a
' - -'Se'
où
^'i^yi^s'^ dt y/^'2^y2
Les équations M = o, N = o, P=^o donneront, par l'inlégratîon,
•^ — mnst
^'i^yil^z'*
d'où
j:' -const., y
-: const., 5'-- const.,
et enfin
(20) a: ^=iat-h et, y —-bt -\-^j zzi^ ct-j--(,
équations d'une droite.
Si les points Xq, jKo? ^oj ^o J^m ^i sont donnés, la condition de passer par ces deux points achèvera de déterminer la droite; il restera encore deux constantes indéterminées dans les équations (20); mais cela doit être, car on peut changer dans ces équations t en mt -h n^ m et n étant deux arbitraires, sans altérer leur forme et sans qu'elles cessent de représenter la même droite.
Supposons que, le point (^To, j^o> ^0) étant fixe, (^1,^0 -5,) soit inconnu, mais assujetti à se trouver sur la surface
On aura, entre les variations 8j?i, q^<, 8ci, la relation
i88 TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE IT.
et, sous cette condition, Texpression
doit s'annuler, ce qui donne, pour achever de déterminer la droite et les coordonnées^!, j^^, 3i, les deux équations
à^i àyi dzi
lesquelles expriment que la droite est normale à la surface^. Si (Xij jK«j ^i) était sur une courbe
on trouverait de même l'équation de condition
' ^H âj^ <)^ I j ÔJTi dji Ozi i
àx ày^ (h — o< à^i àyi dz^
qui exprime que la droite rencontre la courbe donnée normalement.
367. Lignes géodésiques, — Supposons que la ligne de longueur minimum à mener entre les points (^o» Xo^ ^o) et (•^«»yi> -Si), au lieu d'être située d'une manière quelconque dans l'espace, soit assujettie à être tracée sur une surface donnée
Nous avons à rendre minimum l'intégrale / dSf x, y, s
étant astreints à la condition <]/ = o. Il faudra, pour cela, chercher le minimum de l'intégrale
càlgcl des variations. 4^9
H, M, N, P ayant les mêmes valeurs que dans le problème précédent. Les équations différentielles à joindre à Téquation *b = o pour déterminer la courbe cherchée etTinconnue auxiliaire \ seront donc les suivantes :
âx
dl
dt
ày
(21) Zl-V:^-:!!^-*: -- ^ ILv±r -^.^i^ = . . . :^ X.
Or - — , V^) —^ sont proportionnels aux cosinus direcox ôy ôz ' ^
leurs de la normale à la surface ^; mais, d^autre part,
, , •• sont respectivement proportionnels
<^^ sjx'^-^y'^^z'^ ^ ^ ^
aux cosinus directeurs de la normale principale à la courbe cherchée (t. I, n^ 483). Les équations (21) expriment donc cette propriété géométrique de la courbe cherchée, que sa normale principale se confond avec la normale à la surface sur laquelle elle est tracée.
Les lignes définies par cette propriété se nomment lignes géode s iq lies,
368. Il est généralement avantageux, dans l'élude des lignes geodésiques, de représenter la surface considérée non plus par une équation entre a:, y^ z, mais par un système de trois équations, donnant Xy y^ z en fonction de deux paramètres {/, p. On aura, dans ce cas, pour ds^ une expression de la forn?e
ds ■=• \l^\dii}-\- 2?s du dv-\-P dç^ .
Une ligne tracée sur la surface sera définie en joignant aux
équations de la surface une nouvelle relation donnant u en fonction de v.
Si Ton fait varier la fonction u sans changer les extrémités ^o> ^o> <^i9 ^1 de cette ligne, on aura, pour la variation de l'arc, l'expression
^p, / ( -r— ^a*-h '^-z—dudv-^-T- dv^ | lu -}- 2 (M du -y- N di^dhi-
Intégrant par parties le terme en dZu et égalant à zéro ce qui restera sous l'intégrale, on obtiendra Féquation différentielle des lignes géodésiques sous la forme
(22 ) -,— du^ -{- 2 -.— du dv -h ^— dv^ =1 2dsd , •
ou du ou ds
Cette équation du second ordre peut être remplacée par un système de deux équations simultanées du premier ordre entre m, t' et Tangle 6 formé par la tangente à la ligne géodéslque en chacun de ses points avec la tangente à celle des lignes V "= const. qui passe par ce même point.
A cet effet, considérons le triangle infiniment petit formé par les points A, B, C, dont les coordonnées sont respectivement e/, V] M, v-{-dv\ u-^du^ v-\-d{?; on aura sensiblement
AB = P dv\ BC — M du\ AG = ds'-,
ACB = 0, ÂBC-ir — to;
iù désignant Tangle des deux lignes u et i^ qui se croisent au point A.
On aura, par suite, en appliquant les formules connues de la Trigonométrie,
ds- — M du^ 4- P di'^ 4- 2 v/MP du di^ ces w,
d'où
N i/MP — N«
COSO) r^ — ^-, SlD(i)r=ri — «
v/MP vMP
CALCUL DBS VARIATIONS. ^9'
puis
ds v/P^t^.
sinci) sinô *
(a3) ds^\Tk^=i- ^ dv
et enfin, en projetant le triangle sur BC,
M rt?a 4- N dv
(24) ^5Cos6 = \/M c^a -h v^Péfç'cosa) =
La division membre à membre des deux dernières formules donnera
(25) COlOzi:
V/MP — i\«û^(^
Il ne reste plus qu*à transformer Téquation (22). On aura
, , M e/w -4- N (ip
idsd ,
as
=1 2 ds d^^icos^
= -T-du -4- -r— û^t' ) — 2 i/M <i5 sine ûfe.
\(?M dv ) y/M
Remplaçons df^cosO et df^sinO par leurs valeurs, substituons dans (22) et réduisons ; il viendra
