Posons, pour abréger l'écriture
CALCUL DBS YARIATIONS. 4^
^ous aurons, d'après la formule (3),
valeur qu'il faudra substituer dans l'intégrale / 8© dx.
Li'intégration par parties permet de transformer cette expression en faisant disparaître sous le signe / les variations des dérivées y, . . . , ^'», ^', . . . , 5", En effet, considérons, par exemple, le terme
^dx.
Nous savons que 8/* est la dérivée A:**"* de 87; on aura donc
r A*5y*ûfa?r=:[A*S7*-» — AV87*--- -h. ..-+-(— i)*-*Ai^-« «yK;
^Ç\-iYk\lydx.
Opérons de même sur chaque terme de 8!p et posons, pour abréger,
A -a; -H. ..-+-(-!)'" AJJ i=M,
a,^a;+...+ (-i)— »Ar'z:=c, A,- A;-f-. . .+ (- 1)—' Ar* =cs
B,— B;-f-...-h(-i)'»-» Br* ^D, B,-B;4-...+ (-i)'»-*Br* =^Ds
468 TROISlftHB PARTIS. — CHAPITRE lY.
il viendra
W = [?]|5^| — [?lo^^o
-i-Da«H-D»85'-h...-hD'-*S5»-« j
Cette expression doit être nulle pour tous les systèmes de valeurs admissibles des variations Sy, Sjs, . . . , 8x0, ox^.
356. Supposons d^abord que ces variations puissent être 3hoisies d'une manière entièrement arbitraire. On pourra poser, en particulier,
0 étant une fonction quelconque de x, qui s'annule pour :c-— Xo et pour ^ = ;r<, ainsi que ses dérivées successives, jusqu^à un ordre égal au plus grand des nombres m — 1,
n — I, Pour ce système de variations, les termes tout
intégrés de 81 s'évanouiront, et l'on aura
SI = r^'e'(M»-i-N»-f-. . .) ^«r.
Cette intégrale, dont tous les élément? sont positifs, ne pourra s'évanouir que si l'on a
M -z o, N =rr o, . . . ,
ce qui réduira l'expression de SI à la partie tout intégrée
[C 87 H- C» S/ -h ... 4- C'»-' Sy"'-* "1 '• 4-D85H-D»83'4-...4-D»-* 8c;«-» j -^- [?,] 8x, — [<p]o8xo
zzz C, 8jK, -^ Cl 8j; -+ . . . -i- G--> 8y--' - D, 8c, -1- . . . -- D^' 85;-' -r -Co87o-CJ8y,-...-Cr*Sji«-»-DoSc,-...-Dr»8;;;-»- -i-[<p]i8^j — [©]o8xo,
que nous désignerons par H.
Les diverses variations qui figurent dans cette expression
CALCUL DBS VARIATIONS. 4^9
sont évidemment des arbitraires indépendantes. Donc, pour que SI s^annule identiquement, il faudra qu'on ait encore
i C|=:ir0, C}=0, ..., Co-^O, ..., DJ"** = O, ..., 1 Wi^O» [?]o-0.
Les équations
o =: M = A — a; -t- . . . 4- (— i)"» AJJ, (7) { o=:Ni:^ B B;-f-...4-(-i)» B2,
sont des équations différentielles entre x et les fonctions inconnues^, z.
La première contient les dérivées de y^ z^ . . . j usqu^à l'ordre 12/71, n-\-m^ ... respectivement. La seconde les contient jusqu'à Tordre m-i-riy 2/i, •..; et de même pour les suivantes si le nombre des fonctions^, z^ ... surpasse 2. Ces équations forment donc un système d'ordre 2 m + 2 n 4- ... en général, et donneront ^, z, ... en fonction de x et de i^fn-\- 2n-h ... constantes arbitraires ^i , 02, ....
En substituant ces valeurs dans les 2-1-2/71 + 2/1-1-... équations aux limites (6), on aura le nombre d'équations nécessaires pour déterminer les constantes d'intégration et les limites Xqj x^. Le problème est donc en général déterminé.
337. Jacobi a montré que le système des équations différentielles (7) peut être ramené à un système de 2/71-+- 2/l-f- ... équations du premier o^dre ayant la forme canonique.
Supposons, en effet, pour fixer les idées, qu'on ait deux fonctions inconnues y^ z» Prenons pour inconnues auxiliaires les quantités y^ . . . , y'^"^, js', . . . , -5""' , C, C*, . • . , C*"*, D, D*, . . . , D"~* ; on aura, par définition,
dy „,
dx ^'
dx ~y '
dx-"'
dz—* dx
D^autre part, la difTérentiation des équations (5) donne immédiatement (en remarquant que M = N = o)
dx~' ' . . . , dœ ~~ ' '
et, si Ton tire des équations
les valeurs de y'^^ 2" pour les substituer dans les équations (8)et(9), on obtiendra, entre x et les nouvelles variables^, /, .•,r'""';^, ...,^'«-*; C, ..., C»-*, D, ..., D«-S un système d'équations du premier ordre, équivalent aux deux équations primitives.
Ce nouveau système est canonique. Considérons en eflel la fonction
U =<? — Cy — . . . — G'«-»y — D^' — . . .— D«-»-s". Sa difTérentiation donnera
dû :^ -^dx -H A ^7 -h (A, — C) dr/-+- . . .-}- (A^ — C»-» ) dy""
-\-Bdz -^(Bl — D)<is'-T-...-f-(B;, — D»-»)rf5» ^y'dC—fdO — .,. ^y^ rfC'»-* — 5' d/D — 5" ^D» - . . . — 5» rfD'»-».
D'ailleurs les coefficients de dy^ et de dz^ dans cette expression sont nuls. On voit donc que, si Ton exprime U en fonction àe Xy y, . . . , y"^"^ ; z, . . . , ^s""* ; C, . . . , C*"'* ; D, . . ., D""*, en éliminant j^*", z'^ au moyen dés équations (10), on aura
ce qui établit notre proposition.
358. Réciproquement, soit U une fonction quelconque de X et d'un nombre quelconque de couples de variables y^ 'i\\ 2, Ç; ...; supposons ces dernières quantités fonctions de x^ et cherchons la variation de Tintégrale
(U -f-ïij'-f-Çs'-l-. . .)dxy
en supposant qu'on les fasse varier. La portion de la variation qui restera sous le signe / , après l'intégration par parties, sera
et, en exprimant qu'elle est constamment nulle, on aura les équations canoniques
""-'dy ^ - - dn' ■•■■
On voit donc que le problème d'annuler la première variation d'une intégrale et celui d'intégrer les systèmes d'équations canoniques sont entièrement équivalents.
3o9. Les résultats que nous venons de trouver subissent quelques modifications, lorsque les fonctions j^, >5, . . . et les limites ûCq, x^ ne sont pas entièrement arbitraires. Nous allons passer en revue les principaux cas que l'on rencontre dans les problèmes usuels.
1" Les fonctions y, z^ ... sont encore arbitraires dans l'intérieur du champ d'intégration; mais il existe entre les
limites ^07 ^i et les valeurs jKojJ^'oî •••' Jo* *i ^Of •••» ^o"* ; •••; Tii • ' '•> yT~* î ^1 > • • • ■) -i'~* * • • • que prennent pour ces limites les quantités y^ y' •, - . -, JK'" *î ^y ^'f • • •> ^'*~*; •• • une ou plusieurs relations
(II) 'l' — o, x — Oy
On aura encore, dans ce cas, M -- o, N ^= o, ... ; mais les variations Sxo, S^i, ^yo, ... qui figurent dans la partie tout intégrée de 81 ne seront plus indépendantes les unes des
/|72 TROISifeMB PARTIE. — CHAPITRE IV.
autres, et chacune des équations (ii) fournira une relation linéaire entre ces variations.
En eflet, changeons y y z, ... en ^ -4- 8>', z -+- 82, puis Xb, jj, en XQ-^r^Xoy j:i-i-8x|. Soient ^0 -H A^o» yo"+"A>'l)» ••• ce que sont devenus yoy Jk'o? ••• P^^ cette variation. Ces nouvelles valeurs, associées aux nouvelles limites Xo H- Sx^, Xi -f- 8^1, devront encore satisfaire aux équations aux limites
tj; =:= o, •5^ = 0, On aura donc, en développant par la série
de Tavlor et s^arrétant aux termes du premier ordre,
Il ne reste plus, pour obtenir les relations cherchées, qu'à trouver l'expression de A/o> A/'o» • • • ^"^ fonction de 8x0, Sxj, 8j'o> 8>''o? • • •• ^" l'obtient aisément comme il suit. On a, par définition,
yo -^ Arî = [7*-+- a/*];r-=x.+sxo
^ A ^-/f"*^* 8x0 + . . . 4- SjKÎ -h . . . .
On aura donc, en négligeant les termes du second ordre, comme nous le faisons dans toute cette recherche,
A7Î==57J-i-7Î^i8xo.
Nous avons ainsi obtenu autant d'équations linéaires entre les variations 8x0, 8xi, 8^0) ••• qu'il existe d'équations de condition t}i = o, -j^ = o, .... Soit /> ce nombre. On pourra, au moyen de ces relations, éliminer p variations de l'équation
M-C,87, + ...+ Cr»8rJ* »
-Co87o-...-Cr^57
Les 2-i-2/n4-2/iM-... — p variations restantes étant entièrement indépendantes, on devra égaler leurs coefncienls à zéro, ce qui donnera autant d^équations de condition nouvelles, qui, jointes aux équations ^ = o, '^ = o^ . . ., détermineront encore Xo^ x^ et les constantes d'intégration.
On peut d'ailleurs opérer d'une manière plus symétrique en ajoutant à l'équation précédente les équations o<|^ ^^ o, Sy^ -- o, multipliées par des indéterminées X, [jl, . . ., et égalant à zéro les coefficients de chaque variation. Les 2 H- 2 m -I- 2/1 -1- .. . équations ainsi obtenues seront les mêmes que celles qu'on obtiendrait en annulant la variation de I -f- X^ -h Y-H ^" • ■ • ' X et [Jl désignant des quantités invariables. En les joignant aux équations données i{; ^:= o, '^ = o, . . ., on pourra déterminer toutes les inconnues du problème, y compris les inconnues auxiliaires X, {x, ....
360. a"* Les fonctions j^, ^, ... ne sont plus indépendantes, mais sont liées par des équations diflerenti elles
(12) ^ = 0, X--Oy
Soit p le nombre de ces équations^ dans lesquelles pourront d'ailleurs figurer, outre les fonctions inconnues j^, 2, ... et leurs dérivées, d'autres inconnues auxiliaires i/, ... et leurs dérivées. (Le nombre de ces nouvelles inconnues devra toutefois être inférieur à celui des équations de condition.)
Les équations ^|/ = o, ^ = o, ... feront connaître jd des inconnues^, ^, . . ., {^, . . ., par exemple j^, ... en fonction des autres z, . . ., m, . . ., qui resteront indéterminées.
Cela posé, désignons par X|, ..., X^ des fonctions arbitraires de Xj que nous nous réserverons de déterminer. On aura évidemment, pour tout système de variations de^, z, . . . , «, ...;â?o, x^ compatible avec les équations tjy = o, ^= o, ...,
474 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
car
rintégrale / (X, ^ -h ^a/ H- • ••) dx étant identiquement
nulle, sa variation Test aussi.
La variation de l'intégrale
traitée à la manière ordinaire (sans faire varier les fonc' tions )v)y pourra se mettre sous la forme
- H' -H Ç \m'8j4-N'S5^ ...-hP'SM-h...)^^,
ir désignant la partie tout intégrée et M', N' des expressions formées avec j^, z, . . . , i/, . . . , X| , . . . , X^ et leurs dérivées. Déterminons les fonctions arbitraires ).|, ..., \p par la condition d'annuler les coefficients des variations Zy^ ... des variables dépendantes y^ . . .; 5K. se réduira à
H'-h r '(N'a5-i-...-i-P'oa-4-...)^JC,
€t^ comme les variations 82, 8a, . . . sont arbitraires dans tout le champ d'intégration, on aura séparément
Nous aurons donc, pour déterminer y^ z et les fonctions auxiliaires X(, ..., )%p, les équations diOérenti elles simultanées
ij; z=z o, t'-o, . . . ,
Les constantes d^intégration et les limites x^^ x^ se déduiront de la condition H' = o. Celle-ci se décompose d'ailleurs en autant d'équations distinctes qu'il reste de variations indépendantes parmi celles qui figurent dans H', lorsqu'on a
CALCUL DKS VARIATIONS. fy]5
tenu compte des équations aux limites
^==:o, ^~~~'^y •••» pour j; =1 iFo et a? = JTj; (i3) { dx
qui sont des conséquences des équations <J/ =;:= o, y = o, lesquelles ont lieu identiquement pour toute valeur de x>
La série de ces équations aux limites devra d'ailleurs être arrêtée au moment où apparaîtraient, dans les dérivées successives de «j/, ^, . . ., des dérivées de y, z, , . ,; w, . . . d'ordre supérieur à celles que contient H'.
On obtiendra donc la solution du problème proposé en égalant identiquement à zéro la variation de l'expression
Les équations ainsi obtenues, jointes aux équations et à celles-ci :
déterminent toutes les inconnues du problème, y compris les multiplicateurs X, p., v.
4;^ TROISlftMB PàRTIB. — CHAPITRE lY.
3G1. 3"* Les quantités inconnues y^ Zj ..., Xo, x^ sonl assujetties à varier de telle sorte qu*une intégrale définie
K=z / <Kx, j, /, ...;5, s', ...)cLv,
prise entre les mêmes limites que I, conserve une valeur constante c.
Ce cas se ramène immédiatement aux précédents. Prenons, en eOet, comme inconnue auxiliaire, la quantité
Cette équation, qui définit Uy équivaut évidemment aux deux suivantes :
u' =1'^, u =zo pour œ m a:^.
D'ailleurs, pour x ^rn x^yU devient égal à c ; on doit donc avoir
D'après le numéro précédent, nous aurons donc à annuler identiquement la variation de l'expression
/ [?^-^('{' — «')]^^-+-K'0«o-i-(Xi(tti — c)
=y u -i- X4i 4- ^- a Wj; -I- ( ïxo -f- Xo ) Wo -H ( [Xj — X, ) (tf 1 - c) ,
\q et X| étant les valeurs de X aux deux limites Xq et x^.
Les termes qui, dans la variation de cette expression, dépendent de Zuy S^O) Sf^o seront
^ Sac^o? H-- (II.O-+- X«) 5tfo-+- (fit— Xi) 8a,.
On aura donc les équations
dk . .
— =0, [Xo 4- Xo =: o, p., — Xi==o;
Calcul dxs tariations. 4/7
donc X est une constante, et la quantité dont on doit annuler la variation se réduit à
(îp -h 'k^)da:.
Les équations qui expriment que cette variation est nulle détermineront les inconnues x^, x^, y^ c, • • « en fonction de la constante inconnue X. Ces valeurs, substituées dans l'intégrale K, en feront une fonction de \ telle que /(X); il ne restera plus qu'à résoudre l'équation
/(X)zz:c.
On peut retrouver ce même résultat par les considérations suivantes.
La variation de l'intégrale I doit s'annuler pour tous les systèmes de variations §^, S^, • • ., qui annulent la variation de K.
Cela posé, soient S'^To, S'^i, 8'^, 2'^, ...; 5"xo, o''xi, ^''y, S"s, . . . deux systèmes quelconques de variations de jtq» -^^m y, z, . . . ; et soient S'I, S'K.; 5"ï, S''K les variations qui en résultent respectivement pour les intégrales I, K. Donnons à x^^ Xi^ y^ Zj ... 'de nouvelles variations égales à
^"Kl'x^-VKl'x^, ....
S'KS'jK — S'KS'^j, 8'K8'3 — fi'KS*';?, ....
La variation correspondante de K sera
8'K8'K~8'Kr7Kr^io.
Celle de I, qui est égale à 8''K 8'I — 8'K8''I, devra s'annuler également. On en déduit
Le rapport des variations de I et de K sera donc constant pour tout système de variations àe y^ z, .... Soit — X la
178 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
valeur de ce rapport. La variation de l'intégrale
I^IK = j{^-h\^)dx
sera identiquement nulle. Cette condition déterminera jt^, jr«, j^, 2, • . . en fonction de X, qu'on obtiendra, comme tout à l'heure, par Téquation K = c.
On voit que, dans les divers cas que nous venons d^examiner, la solution du problème revient toujours dans sa partie essentielle à annuler la variation d'une intégrale où toutes les variations sont supposées indépendantes.
362. Nous allons éclaircir ces théories générales par quelques exemples.
Cherchons quelles conditions doivent être remplies pour que l'expression
soit la dérivée exacte d'une fonction ^ de ^,y, y^ • - •',y'^~*\ Zf z', . . ., z"'*.
On a identiquement, par hypothèse,
^-^ = ^- On aura donc, quelles que soient les variations Sxo, Sxi,
O r- 8 J'^ j^o g] ds, ^: H ^- mr.\ 4- y^* (M $y + N ^Z) dx,
H, M, N ayant la même signification que précédemment. On aura, par suite,
,, do d do d* do
^^^^ . ây dx àf dx^ df
(^ do d do d' d^ dz dx dz' dx^ dz'
les séries du second membre étanl prolongées jusqu'au point où elles s'arrêtent d'elles-mêmes.
