ABC
en prenant pour lignes u et (^ le système de ses lignes de courbure.
Nous avons trouvé (t. I, n° 538) la valeur du carré ds^ de l'élément de longueur dans l'espace rapporté à un système de coordonnées elliptiques X|, X2, X3. En chaque point de l'ellipsoïde considéré, on aura X| = 0; les coordonnées de ces points ne dépendront donc plus que des deux paramètres X^ et X3, que nous désignerons par u et ç. On sait d'ailleurs (t. I, n° S40) que les courbes i/ = const., (^ = const. seront les lignes de courbure de l'ellipsoïde.
Posant donc )h = o, X2 = w, X3 = i^ dans les valeurs de x^y y^^ z^^ ds^^ il viendra
„.A(A^^-«)(A^-.•) -"'^'(Â^"BHA"-CV
rfp*.
CALCUL DBS TARlÀTlONS, 493
On aura donc ici
^~4 (A4-w)(B-h«)(C-hw)'
4 (AH-i^)(B-hr) {C-hv) et, par suite^
dP I V
du 4 (\-hç^)(B-i-^')(GH-r) t'— a
diM M
Substituant ces valeurs dans l'équation (28), il viendra
Mdu-hPdv-i-2(u~v)\^^MVd^ = o
ou, en remplaçant M et P par leurs valeurs tirées des équations (27),
cos^^dv -+- sin*6 du-\- 2{u — i^) sinOcosôdfÔ =: o.
Cette équation s'intègre immédlalement et donne
(29) Msin*Ô -h (^cos*6 =:c,
c désignant une constante.
L'équation (29) peut s'écrire
{u — c) sin*Ô -h {v — c) cos'6 = o
ou, en remplaçant sinO et cosQ par leurs valeurs,
{u—c)Pdi^^-\-{v—c)M du'' — o.
Substituant enfin, pour M et P, leurs valeurs et séparant les variables, on aura l'équation
(AH-r)(BH-i;) (C-h^){v-c)
dv
dUf
(A-h w) ( B -h w) (G 4- «0 (" — c) dont l'intégration se ramène aux quadratures.
494 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
L'arc de la courbe s^ob tient également par des quadratures. On a, en effet,
V u~-cj (A-i-a)(B-r-a)(C-ha)(ii — c)
u\]adu v\fv d\^
371 . Les lignes géodésiques de Fellipsoïde jouissent de propriétés remarquables, qu'on peut déduire de Téquation (ap).
Remarquons tout d'abord qu'en tous les points d'une ligne de courbure u =-- const. on a
6=:-, d'où Msin'8 H- (^cos*6 =r M ^z const.
Le long d'une ligne du second système p rrr const., on aura Ôniio et asin*ô -î- (;cos*Ôz= <? = const.
Les lignes de courbure satisfont donc à Téquation (29) des lignes géodésiques.
Cherchons les points où la ligne géodésique
a sin' 0 -h p cos' 6 r= c
est tangente à une ligne de courbure.
On aura, au point de contact,
6 — 0 ou 61==-
et, par suite,
ttizzc ou Ç=:C.
Chaque ligne géodésique est donc tangente à deux lignes de courbure, une de chaque système, et l'on voit qu'à deux lignes géodésiques tangentes à une même ligne de courbure
CALCUL DES VARIATIOKS. 49^
// =— c correspond la même valeur c de la constante d'intég^ration.
Il en est de môme pour le système des lignes géodésiqucs qui passent par les ombilics.
On a, en effet, pour les quatre ombilics réels (t. I, n^^SâS),
t .A-B , , pG~A
La condition j^^ — q donne
donc u ou V est égal à — B. Soit, par exemple, w =^ — B; on aura
donc V sera aussi égal à — B.
Pour une ligne géodésique qui passe par un ombilic, on aura donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (29),
ce qui détermine la valeur de la constante c.
Considérons une ligne de courbure quelconque u= const. Soit (u, if) un point quelconque de cette ligne; joignons-le à deux ombilics O et O' par des lignes géodésiques L, L', elles auront pour équation différentielle
acos'O -+- (^sin*6 — — B, MCOS*ô'-}- Psin*6'=i— B.
En retranchant ces deux équations l'une de l'autre, il
viendra
o = m(cos'0 — cos*0') -^ (^(sin*6 — sin'O')
z=:(r— a) (sin«e — sin'e').
Donc sîn^8 = sin^O', et les lignes L, U auront pour bissectrices les lignes de courbure du point m, çf.
Soit (a, i?i) un point de la ligne de courbure considérée
situé à une distance infiniment petite ds du point (a, 1^) primitivement choisi. Joignons-le à O, O' par de nouvelles lignes géodésiques L|, L', .
Projetons L| et Télément ds sur L ; on aura évidemnient
L =: proj. L| -+- proj. ds.
Or chacun des éléments de Li, ne faisant qu*un angle infiniment petit avec sa projection, lui est égal en négligeant le produit de sa longueur par une quantité du second ordre; on aura donc, au second ordre près,
D'ailleurs
donc
On a de même
Mais on a
proj.L,r-L,.
proj.rf5 = ûfesin6;
L — L|-h<içsinO.
L'2^L\-f-rf5sinO'.
sinO =: ±: sinÔ',
égalité où l'on doit évidemment prendre le signe 4- ou le signe — suivant que les ombilics O et O'sont situés de côtés diflerents de la ligne u ou du même côté. Dans le premier cas
1j — - Là — - - Li j — ■ JLi . ,
et, dans le second,
