L-hL'i=LiH-L

Ces égalités étant démontrées, au second ordre près, lorsque le point (m, P|) est infiniment voisin du point (w, ç»i, on en conclut par le raisonnement connu (t. I, n^ 462) qu'elles sont vraies en toute rigueur, quelle que soit la position du point (m, i'<) sur la ligne de courbure û.

On voit ainsi que les ombilics jouissent, par rapport aux lignes de courbure, de propriétés toutes semblables à celles des foyers des sections coniques.

372. Problème des isopérimètres, — Proposons-nous de déterminer, parmi toutes les courbes de longueur 2/ ayant leurs extrémités en deux points A et B, celle pour laquelle l'aire comprise entre la corde AB et la courbe est maximum.

Prenons pour axe des x la droite AB, pour origine le milieu de cette droite : soit 'la la longueur de celle-ci. Nous aurons à rendre maximum l'intégrale

j ydx.

sachant que Tintégrale

Ç ds-^ Ç \l\-r-y^dx

a pour valeur 2 /.

D'après la méthode générale, nous aurons à poser

o trr 8 / (^y -\-\sJ i 4- y*) dx

= C il "^ ^^ \l dx

L'équation différentielle de la courbe cherchée sera donc

d'où

dx y/, |yï

équation d'un cercle de rayon X.

Il reste à déterminer les constantes c, c', \. Pour j^ r=z o, on aura x =^±a\ donc c =^ o, c'^ = \- — a^, J. — Cours, III. 32

Il ne reste plus qu'à faire en sorte que la longueur de Tare soit 2 /.

Or, en désignant par a {^Jig> 1 1) l'angle que le rayon CA

du cercle cherché fait avec l'axe OY, on aura

/i^Xa, a = Xsina.

Éliminant a, on aura, pour déterminer X, l'équalion transcendante

a=z: A sm r-«

L'angle a étant d'ailleurs compris entre o et ic, il faudra prendre pour \ celle des racines de cette équation qui est

En supposant a infiniment petit, le problème se transforme en celui-ci :

Déterminer parmi les courbes fermées de périmètre il celle qui enferme une aire maximum,.

Dans ce cas, l'équation en \ deviendra

sm Y = o

et aura pour racine X= -• La solution du problème sera donc un cercle ayant le périmètre donné.

GALGCL DES VARIATIONS. ^99