I + XV

ce qui donnera Téquation aux dérivées partielles

• Les fonctions arbitraires de l'intégration se détermineront parl'équation V=consl., jointe aux conditions aux limites.

401. Le calcul des variations fournit un procédé commode pour la transformation des équations aux dérivées partielles.

Pour en donner un exemple, considérons, avec Jacobi, Tintégrale triple

Cherchons la variation 81 en supposant le champ d'intégration invariable, ainsi que les valeurs de V et de ses dérivées du premier ordre aux limites du champ On aura

01 r= 2 X I -T- Û ^r \- -^r- ti ' 1 r- 0 - — | dx CIV CtZ

dx dx dy ày âz dy

ou, en intégrant par parties les trois termes respectivement par rapport à a?, y^ z et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,

r^a condition pour que SI soit identiquement nul sera donc fournie par l'équation aux dérivées partielles

d^y â^Y d'Y Remplaçons les coordonnées rectangles x, j', z par un sjs-

Calcul dbs variations. 54 i

tèine de coordonnées curvilignes orthogonales /, ci, c, définies par les équations

On aura(t.I,n° 530).

âF a* (}F ()* ^F a*

dx ôjc dy dv àz ôz

dx ÔJc ' dy ây ' âz âz '

dw dF â^ (W (hr f)V

ÔJC ÔJC dy dy ôz àz

\docJ ' \dyj ' \()z I dx^ 4- dy^ -+- dz^ — — -h — h

Enfin l'élément de volume rapporté aux nouvelles coordonnées sera

, , dtdudv T , f F dx dy dz^=. — — z=: J dt du dv,

y AA| A] J = — étant le module du jacobien de x, y, z par rap-

V^AA, Aj

port k t^ u^ V.

On a d^ ailleurs

dy^à\ dF àVd<> âV dW dx dt dx du dx dv dx

dz ~" dt dz ' du dz dv àz '

5^3 TUOISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE 17.

d'où, en tenant compte des relations précédentes, '

fdwy /()v\« /^v\* /dwy- /dvv /^v\»

U-:^) -^fe) ^(^) ^K^) -^'U) ^^'(^) •

L'intégrale I, rapportée aux nouvelles variables /, w, i?, deviendra donc

dt du dv.

Le champ de cette nouvelle intégrale sera invariable comme celui de Tintégrale primitive, ainsi que les valeurs de V,

d\ d\ dV ,. , . ,

Tr> ji- > -5- ^^^ limites du champ.

dt ou av ^

Exprimons que ol s'annule dans ces conditions. On aura

ou, en intégrant par parties les divers termes de cette expression et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,

La condition pour que 81 s'annule identiquement sera donc

ot ot Ou du ai' ai'

Cette nouvelle équation est donc équivalente à Téquation (5), dont elle sera la transformée.