I -f- P/? -+- Qi

ou enfin

ces/ " + a = o,

CALCUL DBS YARIATIONS. GSg

i désignant Tangle des plans tangents à la surface libre et à la paroi du vase. Cet angle sera donc constant.

La seconde équation redonnera ce même résultat en éliminant cosNX et supprimant le facteur cosNY.

400. Cherchons encore à déterminer les surfaces d'aire minima. Il faudra annuler la variation de Tintégralc

I =z V /i -t-/>^ -h </* dx dy.

Posant a = 6 == X = o dans les calculs précédents, on aura

[a 8:; -h slV^p'^q^ (cos NX Ix -h cosNY 87)] ds

L'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées sera

donc

ou

Cette équation a été intégr/îe au n'* 280.

Si Ton donne ,1e contour qui limite le champ et la valeur de z en chacun de ses points, on aura à la limite 5.r = o, 3y = o, 8c = o, et l'intégrale simple disparaîtra d'elle-même. Mais les valeurs limites des trois variables donneront une courbe par laquelle doit passer la surface cherchée, et l'on aura à déterminer par cette condition les fonctions arbitraires que l'intégration a introduites.

Si une portion de la courbe limite est inconnue, mais assujettie à se trouver sur une surface donnée :; -— Z, on aura, pour l'angle i sous lequel la surface inconnue vient la rencontrer, l'équation

cosz = o,

laquelle montre que les surfaces se coupent à angle droit.

540 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.

Supposons enfin qu'on demande la surface d'aire minima qui renferme un volume donné V. On aura à annuler la variation de rintégrale