Posons à cet eflet

\ étant une nouvelle variable et T une fonction de / qui soit «le la forme

T = crf-hc,rf^«4-....

Nous obtiendrons une équation transformée

dr^ "^ â

ou^ en divisant par T,

rf"-»?

dF^

rn(n ^i)T' T Id^-

Si'i'équation primitive a ses intégrales régulières, il en sera de même de cette nouvelle équation, dont les intégrales s'obtiennent en multipliant les précédentes par l'expression régulière

- =t-?(d-hdie-^...).

D'autre part, ^ = o étant un pôle d'ordre i pour 7p>

l8o TBOISIÈMK PARTIE. — CHAPITRE 11.

d'ordre 2 pour-=-> •••> on voit que, si ce point est un pôle

d*ordre k au plus par rapport à chaque coefKicient p/t de Téquation primitive, la même propriété subsistera pour l'équation transformée.

Réciproquement, si Téquation transformée jouit de cetlç propriété, Téquation primitive, qui s'en déduit par la substitution

la possédera également.

Il suffira donc, pour établir le théorème pour l'équation primitive, de le démontrer pour l'équation transformée.

Cela posé, il résulte de l'analyse du n® 145 que l'équation en X admet nécessairement au moins une intégrale j^© = /''Mg dépourvue de logarithmes. Cette intégrale étant régulière, par hypothèse, sera de la forme (3). En la prenant pour T, la transformée en Ç, admettant comme intégi*ale la constante i , ne contiendra pas de terme en \ et se réduira à la forme

Posant -3- = Ç', on aura l'équation d'ordre n — i

dont les intégrales, étant les dérivées de celles de la précédente, seront encore régulières. Si donc le théorème est supposé vrai pour les équations d'ordre n — i, t=o sera un pôle d'ordre k au plus pour q/f. Le théorème sera donc vrai pour Téquation en Ç et pour l'équation primitive en x,

II suffit donc d'établir le théorème pour les équations du premier ordre. Or soit

al ^

ÉQUATIONS LnrtAIMS. l8l

nne semblable ëquatîoD ^ si elle admet une intégrale régulière, elle sera de la forme

Or, si ^ = o est pour/>f un pôle dont Tordre {ji de mulliplicité soit >> I, de telle sorte qu^on ait

et qu'on substitue pour jr une valeur de la forme T, le résultat de la substitution contiendra un terme acV^'^'' de degré moindre que tous les autres et qui ne pourra se réduire avec eux; donc il ne pourra pas exister d'intégrale régulière.

148. Réciproquement, nous allons établir que toute équation diflérentielle qui satisfait aux conditions énoncées a n intégrales régulières.

Multiplions Téquation par f^ ; il viendra

'dî^

fytU

'di'

rr-^/>t^'.^'*-*

d'^-'^x 'dF^

L'origine étant, par hypothèse, un point ordinaire pour les fonctions fit^pat^f . . •, on pourra écrire

p^l^~ bo-h b^t '\- bit* -

Soît p, un rayon de convergence commun à ces séries; on aura

M désignant une constante.

Si nous substituons dans le premier membre de l'équation proposée la valeur x = r, nous obtiendrons le résultat suivant

l8a TROISifcHB PàRTU. — CHAPITRE II.

en posant, pour abréger,

r(r — i). . .(r— /n-!)-f-aor(r — i). . .(r — /i -4- a)

-H 6or(r — i). ..(/•— /iH-3)-+-...= F(r),

ûr„,/'(r — i)...(r — /i-h2)

£n substituant la valeur

on obtiendrait évidemment comme résultat d^ /)4>

--Y*(/, r)r=*nog^/-+-X3-nog^-»/

dr'' or

-^^ ^rlog^-«/^-...^-— ^r.

i.a (?r* ^ dr*^

Nous nommerons équation déterminante Téquation de degré n

F(r)rrO.

Groupons ses racines en séries, en réunissant ensemble toutes celles dont la différence est nulle ou égale à un entier réel. Nous allons démontrer qu'à chaque série contenant ni racines correspondent m intégrales régulières de Téqualion.

149. Admettons, pour fixer les idées, que nous ayons une série contenant quatre racines, dont deux égales à a et deux égales à a 4- £ , i désignant un entier positif. Nous allons obtenir une intégrale régulière de la forme suivante

( X=:\' ^«-^î*(Cj,-hc',,logO (4) {

•> /«-^l^(c^.-hc'^log/H-...-f-c',llog*0»

tQDÀTIONS LINÉAIUS. l83

daos laquelle quaire des coefïicients c resteront arbitraires, ce qui donne bien quatre intégrales particulières distinctes.

Substituons en effet la valeur précédente dans Téquation proposée, et égalons à zéro les cocfGcients des termes en

/^-^»*log'/, i**-»*log«/, ^»-^i*log^ 1*^»^;

il viendra

F (3-h;x)c;i-ho,(a-+-:x F (2-Hji)c':x-h©i(a-+-a

F (a-4-{x)c'j,-!-?,(a-l-li

!a)^ii-+-?i(«-+-:^

-i-+-?î(«-HiA-

-a)cj:,-f-,.

,,-Htp,(a-4-.a-

.,-l-f,(ï-+-fi-

■2)c,j,jH-..

I ) cy.

.,-ho;(a-+-Jx-

l)Cjt-

■a)CpL-i-»--.

.,-h?;(a-^-li-

•a)Cp,,-h..

.,-H9;(a4-îi-

oc;:-

,-h<p,(«-f-ti

2)CJI,-|-. .

Dans les deux premières équations, on aura à donner à |jl toutes les valeurs de i k oo , dans les deux dernières toutes les valeurs de o à oo ; d^ailleurs les séries qui forment les premiers membres se limiteront d'elles-mêmes, ceux des coefGcients <f^ c'" dont Tindice serait < i et ceux des coefficients c, & dont rindice serait <C o étant identiquement nuls.

Pour toute valeur de [Ji supérieure à i, F(a + (x) étant ^ o, ces équations donneront cj][, c]^, c^^ Cy, en ionction des coefficients d'indice moindre. Pour p^ = i les deux premières équations deviennent identiques, car elles se réduisent à

et a-^i étant racine double de l'équation déterminante, F(a-4-«) et F'(a 4- 0 s'annulent; mais F'' (a -h i) étant ^o, les deux dernières équations détermineront c^, c].

l84 TnOISlfcME PÀllTIE. — CHàPITBB II.

Si « >• ;Ji. > o, il ne reste plus que deux équations qui déterminent c'^, OuL en fonction des coefficients précédents. Enfin, pour [i-^o, ces équations deviennent identiques. La détermination des coefficients peut donc toujours se faire, et il en reste quatre arbitraires, à savoir c), c,, cj^, Cq.

150. Il reste toutefois à prouver la convergence de la série obtenue. Pour Télablir, nous remarquerons que F(a-l-[jL) étant un poljnAme en |jl d'ordre n les valeurs de cj[, . . . , c.j, en fonction des coefficients précédents fournies par les équations (5), lorsque [jl> /, seront delà forme

-♦- Pi/.v?;(ï -\- :-^ - M -^- ... -H P3*v?x(=^ -+- 1^ — ^)]^i!L-),

l A ;iz 1 , 2, . . . , ;a, v = o, r,2,3),

PoAv> ' • •) PavA étant des fonctions rationnelles en [x, dont le dénominateur est d'un degré au moins égal à celui du numérateur (et dont quelques-unes sont nulles).

Nous obtiendrons évidemment une limite supérieure du module des coefficients cherchés en remplaçant les fonctions P, Qx(3t -f- JA — X), etc., et enfin les coefficients cjît x par des limites supérieures de leurs modules.

Or les fonctions P tendant pour |jl = oo vers des limites déterminées, leurs modules seront constamment inférieurs à une quantité fixe 0|.

Nous obtiendrons, d'autre part, une limite supérieure du module de Texpression

^ûr\(a-r-[x — >.)(a-hjA--X — i)...(a4-|x— X — /i-f-^) -h bi{oi -\' [t. — X ) (a H- ji — X — I ) . . . ( a H- {JL — X — n -h 3)

en remplaçant ay, bx, . . . par la limite supérieure de leurs

modules -^ et les facteurs a + [x — A, ... par | a | + a -h n.

ÉQUATIONS UNÉAI1B8. l85

Oa troQVcra ainsi

O2 désignant une quantité limitée.

Le ittéme procédé donnera