A* Posons maintenant

zu — 6^ iip -+- ^k-i «1 -t- ... -I- «V,

^0) ^1) • • •) ^A étant de nouvelles fonctions. Pour que Zq, . . .,

fvQCATlONS UNÉAIBBS. I77

r» snl)îssent la transformation demandée par une rotation '<uiour de l'origine, î! sera nécessaire et suffisant que Wo, . • ., uis restent invariables.

On obtiendra donc, en remplaçant les fonctions 6|, . . ., 0/^ par leurs valeurs en /, pour les intégrales cherchées ^o» - • -i ii, des expressions de la forme

Mo, Ml, ..., N|, ... étant des fonctions monodromes aux environs de Torigine. Ces fonctions s'expriment, d'ailleurs, linéairement au moyen des k -+- 1 fonctions distinctes i/o, . . ., «A. En particulier, les fonctions M^, M4, . .., Ma de la première colonne ne diO^rent que par des facteurs constants.

146. Les fonctions monodromes Mo, M|, N^, ... seront développables en série suivant les puissances positives et négatives de t. Si la série des puissances négatives est limitée pour toutes les fonctions qui figurent dans une des inlé> grales ci-dessus, cette intégrale sera dite régulière aux environs du point t = o.

11 est intéressant de reconnaître dans quel cas l'équation proposée admet un système d'intégrales indépendantes toutes régulières. M. Fuchs a établi à cet égard le théorème suivant :

Pour que l'équation

admette n intégrales indépendantes régulières aux environs du point / = o, il faut et il suffit que, pour chacun des coefficients de l'équation, tel que pi^ le point t = o soit un point ordinaire, ou un pôle dont V ordre de multiplicité ne surpasse pas 1 .

J. — Court, m. la

;^8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE il.

Démontrons d^abord que cette condition est nécessaire. Il est manifeste, en premier lieu : i® que toute expression régulière, telle que

r (M log'/ 4- N log'-' r -h . . . -h R),

a une dérivée

I M log

'log'/-+-...)

également régulière; a^ que tout produit d'expressions régulières est une expression régulière.

Si donc les intégrales^!, . . .,^/i d'une équation d'ordre /? sont régulières, les coefficients de l'équation, mi^e sous la l'orme

•* Jl • • • Jn

seront des sommes d'expressions régulières, telles que (a ) /'(M log' t-h..,)-hri{Mi log't ^ 4- . . . ) -+-

D'ailleurs, lorsque t tourne autour de l'origine,^!, . . ., j'/* subissant une substitution linéaire, leurs dérivées d'un ordre quelconque subissant la môme substitution, les coefficients^ qui sont des déterminants formés avec ces quantités, se reproduiront multipliés par le déterminant 8 de la substitution.

Or, pour qu'une expression de la forme (a) jouisse de cette propriété, il faut manifestement que les logarithmes disparaissent et que les exposants r, ri, . «ne diffèrent de la

quantité — :logS= ^ que de nombres entiers. Les coefTQ-

cients de l'équation seront donc de la forme rfP, P étant une fonction de la même espèce que M, M|, .-. ., c'est-à-dire ayant un point ordinaire ou un pôle au point l = o.

Si maintenant nous divisons l'équation par le coeflicient

ÉQUATIONS LINÉAIMBS.

de la plus liaute dérivée, t^ disparaîtra et il viendra

cit^

df*-

H-..-^/?„ — Oj

les coerGcîents /7|, ...,/?« étant des quotients de fonctions pour lesquelles r =:= o est un point ordinaire ou un pôle, et Jouissant évidemment de la même propriété.

Il reste à montrer que Tordre de multiplicité du pôle t = iy pour le coefGcîent /?!' ne peut surpasser i.