Les intégrales ^/^ sont donc de la forme

Mais les constantes a, b et les fonctions elliptiques H ne sont pas encore connues. Il s*agit de les déterminer.

Le procédé qui nous a permis de reconnaître que l^intégrale générale était uniforme nous a fourni la position de ses pôles r, rf, . . . et leurs ordres de multiplicité y, 8, ....

D'autre part, la fonction j^r^ — r a un seul pôle w = — a (lequel

disparaîtra même si a = o, auquel cas G(a) se réduit à une exponentielle).

Enfin les fonctions {Xf, [x'^ qui figurent dans les polynômes F admettent le pôle simple a = o.

Les fonctions

HiJfc=:

auront donc les pôles c^d^,,» et le pôle inconnu — a, avec des ordres de multiplicité au plus égaux à y, 8, . . ., i; et les fonctions

pourront admettre, en outre, le pôle m = o, avec un ordre de multiplicité au plus égal à i (car si cela est vrai pour les fonctions dont le premier indice est < /, u = o sera d'un

ÉQUATIONS LINÉAIRES. ^Hj

ordre de multiplicité / pour H/w, et d'ordre i — / pour le po- Ivnôme PyJ", qui est d'ordre i — /en [Ji«, [x',).

On aura donc, par la décomposition en fractions simples,

Hij,= C,V;(«-c)4-...-+-Cr,0r-»(a-c)

avec la condition

Les termes de la dernière ligne peuvent être transformés

comme il suit.

Posons

Kl*— hik — ^h^ci' On aura

A^/*î(" -H «) -+- ^ik--- A/*[Ç( M -ha)— Ça] -h L/*

Par suite de cette transformation, la constante inconnue a ne figurera plus dans Hm que dans les combinaisons pa, p'a.

227. il ne reste plus d'inconnu que les constantes a, 6, C^-^, . . . , L/A. On les obtiendra par la méthode des coefficients indéterminés, en substituant les valeurs ci-dessus des intégrales yik dans l'équation diflTérentielle.

Cherchons d'abord celles de ces intégrales

dont le premier indice est i et qui, par suite, sont doublement périodiques de seconde espèce. Il en existe toujours, comme nous l'avons vu.

aB8 TROlSlfeMB PARTIE. — CHAPITRB H.

On a, en prenant la dérivée logarithmique de G(;^),

« p'w — p'a pu — pa

C'est une fonction elliptique où a et 6 ne figurent que dans les combinaisons ^a -h b = 6', pa et p'a. Désignons-la, pour abréger, par I.

On aura

^ /.* :-- GH'u. + G'Ha = G(H;,. h- mu),

5^ J.* -^ G(HU -(- IH.*)' + G'(H;^ 4- IHu)

- G[(H',» -^ iH,*)' 4- i(h;* + m,,)].

On voit donc que le résultat R de la substitution de va dans l'équation différentielle est de la forme