Pour cela considérons l'expression
(p(w)= mu -I- m' Ça.
Lorsque a s'accroît de 2(0| ou de 2(1)2, elle subit des accroissements
Acp 17= 2(0i/n 4- 27),m', A'<J> r=: 2U),/?H- 2 7),/n'.
En choisissant convenablement les constantes m, m', on pourra obtenir :
1° Une fonction [jL| ^^ m< a 4- /w', Ç w dont les accroissements respectifs A[X|, A'p.| soient i eto;
2° Une fonction \f.\= m2U -]- m'^^u dont les accroissements A[j.',, A'|Ji'^ soient o et i.
ÉQUATIONS UNÉAIRBS. a83
Posons plus généralement
Jl/ ; y
Nous aurons évidemment
|JL,(tXi^-l)...(tx,--/4-l)
a|a;. — Oi
av,.=o, a' (li — f*;-- , ,
et ces formules subsisteront pour 1=1, si l'on convient de poser
Tout polynôme entier P en jX|, uij, considéré comme fonction de [ji',,peutévidemmentse mettre d'une seule manière
sous la forme
Ao[Xo-i- Ai|j,
les A étant des poljnômes en ^fJ, dont chacun pourra à son tour se mettre d'une seule manière sous la forme
Le polynôme P pourra donc se mettre d'une seule manière^ sous la forme
225. Ces préliminaires posés, nous allons établir qu'il existe des fonctions Xi/g qui subissent respectivement les transformations (t), (t') lorsque a augmente de aw, ou de 2(»>2, et qu'elles ont pour forme générale
les H désignant des fonctions elliptiques arbitraires et ]c> P'/^ des polynômes d'ordre i — / en a,, |jl'^ et entièrement déterminés; la sommation s'élendant d'ailleurs à toutes \e^ valeurs de /inférieur à i et aux diverses valeurs de m correspondantes à chacune d'elles.
On voit tout d'abord que les fonctions J7«jt7 •••? restant inaltérées, sont des fonctions elliptiques, telles que H|j^.
Supposons donc qu'on ait construit, de proche en proche, toutes celles des fonctions x/yt, dont le premier indice esl moindre que A, et qu'elles aient la forme annoncée. Nous aurons, pour continuer l'opération, à construire des fonctions xif( que le changement de u en u -h 2a)| ou u -i- 2 w* transforme respectivement en
Substituons aux fonctions ^r,-^, qui figurent dans X>^, X),. leurs valeurs déjà déterminées; il viendra
QIaS Qu" étant des polynômes en jx,, (jl', , lesquels dépendent linéairement des coefficients de Xxa, Xx^; la sommation s'étendant d'ailleurs à tous les systèmes de valeurs de /, m pour lesquels l<i\.
Les substitutions tt' et t't transforment respectivement ^r^
en
^u -+- Xx/t -f - Xu -H S'Xx* et en
^k -r Xxa ~\- X)jt -t- oXx;t,
o'XxA désignant l'accroissement que subit Xxa par la substitution t'; SXxa celui que subit XJ^a par la substitution t.
D'ailleurs en appliquant ces substitutions aux fonctions déjà construites, ou aux quantités Xx;t> Xx* qui en sont des fonctions linéaires, on obtient, par hypothèse, le même résultat qu'en changeant w en m -4- 2 co« ou u-\- 2102] on aura donc
8Xi*r:r AXi* i^ AS Qi^'" H;„.
EQUATIONS UNÂÀIRES. 285
Les fonctions elliptiques H/m étant arbitraires, l'égalité lie ces deux expressions exigera que Ton ait pour tout système de valeurs de /, m où / <^ X,
Or si l'on met les polynômes Q'™ , QîS" sous la forme
0""'-vB' a a' ('•-^'•'<^-'-0,
on aura, en vertu des relations (8),
C^les deux expressions devant élre identiques, on aura les t'*quations de condition
Cela posé, on pourra déterminer un polynôme d'ordre X — l en ;x,, [a;,
lel que ses variations
se réduisent respectivement à Q>î*, Qu"î car ces deux identifications donnent les équations de condition
qui sont compatibles, en vertu des relations (q). Posons maintenant
Le changement de u enii + 2C0| accroîtra cette expression de
M^,.^ 2 AP/;'H/,„- Ai;x^+ ^QiT^im
286 TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE 11.
et celui de m en w H- a «1)2 l'accroîtra de même de A\»xifrH-Xi. . Pour que la fonction x^k satisfasse aux conditions requises, il sera donc nécessaire et suffisant que Ton ait
ce qui exprime que i^x* est une fonction elliptique Hxa, d'ailleurs arbitraire.
