JU
Leur combinaison donne l'intégrale -' — dont il est aisé
de trouver la limite pour e ^-^ o.
On a, en effet,
— 7i, —sei-t- .. ,
a{u 4- Wi -h e) = (J(u -h wj) -}- ty' ( u -h tOj) -h . . .
= a(w-Moi)[i-T-£!;(w -Ha)i)-4- . . .],
294 TROISifeXB PARTIS. — CHàPITU U.
d'où
(tu
j H-e[(;(W-4- w,)-r-ei«'l -h. . .] j,
. «a?, — JTi
X2 s'obtiendra en changeant le signe de c: aura é\i-
demment pour limite
<tu Ce sera la seconde solution cherchée.
231. Cherchons encore dans quel cas réquation de Lamô admet comme intégrale une fonction elliptique M(i/) aui périodes 4^i ^^ 4^2-
L'équation n'étant pas altérée par le changement de u en — w, M -f- 2tL)4, 1/ -H 2(0,, admettra aussi comme solution le« fonctions elliptiques M( — m), M(«/ H- 2Ci>,), M(w-f-a«i)2V Mais ces nouvelles intégrales ne peuvent être linéairement distinctes de M(w); car l'intégrale générale de l'équation ne peut être elliptique, puisque, parmi les intégrales particulières, il en est une qui est une fonction entière s'annulant pour m = o.
On aura donc
M( ~w) = cM(w), M(«4- 20),) — c,M{tf), M(a 4- awj) 33c,M(a),
c, C|, C2 étant des constantes. D'ailleurs, en changeant encore une fois a en — u, 1/ -h 2C0| ou w -f- 2(i>2, on voit qu^on aura
On pourra donc écrire
M(w) — NP, N désignant l'une des huit ei^pressions
(dont le choix dépendra des signes de c, C|, C2)et Pune fonction elliptique paire, aux périodes 2a)< et acoa, et n'ajant de pôle que pour u = o : ce sera donc un polynôme entier en pu.
fiQUÀTlOIfS LINÉAIRES. 29.5
Il est aisé de former les dérivées successives d'une expres- -sion de celte forme. On a, en effet,
et, par suite,
il désignant un polynôme entier en w, et N, le produit complémentaire de N formé par ceux des facteurs «"«oW 4"^ N ne -contient pas.
On aura, par suite,
— — (Q'p~2nP')N, --- N,p„
1*1 étant un polynôme en pu.
On trouvera de même
P2 étant encore un polynôme en pu.
Le résultat de la substitution de J\P dans Téquation de Lanné sera donc de la forme
^ [„(„ + ,) p„ 4. A] NP:=NQ,
où Q est un polynôme entier en pu qui s'annulera identiquement si NP est une solution.
Soit
P = a^pV-u -h ay,^^p^-^ U'h,.,~\'ao
et soit k le nombre des facteurs de N. Le premier membre sera infini d'ordre A: + 2 [jl 4- 2 pour m = o ; il en sera de même du second. Donc Q est un polynôme de degré [jl + i , tel que
La comparaison des valeurs principales donne immé-
Ajj^Hi — o
396 TROISIÈME PllTIB. — CHAPITRB II.
dialement
Api+i = [(A:-t- 2 |x -H i) (^ 4- 2 p.) — /i(/i -+- 1)] ap,.
I^s coefficients suivants sont évidemment de la forme
A|jt =: Bji, — ha^^ . . . , Aç 11= Bq — ^ûfo>
BjjL, ..., Bq étant des fonctions linéaires et homogène^
en a^^ • • • 1 ^o-
L'équation
donnera
Les autres équations
A II, ^"^ O, • • • ) Aq III3 o
fourniront ensuite les rapports des inconnues a^,, . . . , «0 si leur déterminant est nul, ce qui donnera pour h une équation de degré jjl + i .
Cela posé, si n est un nombre pair 2m, on pourra supposer A: = o, a == m, ce qui donnera m --h i valeurs admissibles pour h.
On pourra encore poser k z^ 2^ u. = /n — i, et Ton obtiendra m valeurs pour A; soit 3m valeurs en prenant successivement pour N les trois produits de deux facteurs qu'on peut former avec les o-ao"*
Le nombre total des valeurs de h, pour lesquelles Téqualion admet une solution de la forme désirée, sera donc
m 4-1 4-3m-rr2/i-hi.
Si n est un nombre impair a/n-j-i, il faudra supposer: 1" yi- =:r I, [jL =: m, d'où 771 -j- I solutious, OU 3(w -[- i) cu prenant successivement pour N chacun des trois facteurs 0-^0^;
2° ou A" = 3, |JL r= 772 — : I , d'oÙ 771 SolutioUS.
Le nombre total des valeurs de h qui fournissent des solutions de Tespèce NP sera donc
3(77lH-l)-l-77t=i:27l-i-I,
comme dans le cas précédent.
232. M. Halphen a montré qu'on peut ramener aux équations de M. Picard les équations
à coefficients elliptiques, lorsque les rapports de leurs întétéirrales sont des fonctions uniformes.
Soît, en effet, a Fun des pôles des fonctions /?|, ..., p,i* J^^équation déterminante qui correspond à ce point sera
/•(r — i)...(r — rt4-i)-h ar{r — i)...(r — /i-^2)-f-... = o,
a désignant le résidu de p^ par rapport au point a.
Les quotients des intégrales étant uniformes, les racines de cette équation différeront les unes des autres de nombres entiers. Si donc on désigne par r Tune d'elles, leur somme
sera égale à
nr -H e,
e désignant un entier.
Mais celte somme est égale à
On aura donc
nr -{- e : -- ~ — a.
Faisons la somme des égalités analogues pour les divers pôles a contenus dans un parallélogramme de périodes. La somme des résidus a étant nulle, il viendra
/iSr =::: entier.
Donc Sr est un nombre commensurable.
Soit m le plus petit entier tel que la quantité
298 TR0ISI(-:VB PARTIE. — CBAPITRB II.
soit un entier. Posons
Si nous changeons w en w -f- amo) (20) désignant une {>érlode primitive quelconque) v{u — a) se reproduira, niuluplié par
et 0"— se reproduira, multiplié par Donc P se reproduira multiplié par
iI[lmT(î(i/-»-mci> — a)-»-ltci]r— j îriC" -t-wj-i-wi jE
et sa dérivée logarithmique -rj sera accrue de
a/wn 7 r — 271 — =: o.
Donc -jj est une fonction elliptique aux périodes amco,.
Il en sera de même de -p-> -p- > • • • > en vertu de la formule
récurrente
Pf^ e/ Pt*-» PV--^ P'
Posons maintenant
La transformée en z sera
-t/'iP
+ (/i-i)y^jP' 4- /?iP
ÉQUATIONS LIKfiAIRES. 299
et si nous divisons par P, les coeflicients seronl des fonctions elliptiques aux périodes 2ma>i, 2/nco2, cat p^^p^^ ... admettent ces périodes.
D'ailleurs, l'intégrale générale 5 = ^ de cette équation est
uniforme; les points critiques de >3 = ^ sont : i** les points |
a 4- 2/w,u>, -f- 2/nj(o,, ...,
pour lesquels^ et P sont tous deux de la forme
(a -\- 2/n,(jj,-h 2m,to2)'*S,
S désignant une série de puissances entières; ces points seront donc des pôles pour z] 2*' si l'entier E est négatif, les
zéros de 0" — > lesquels seront aussi des pôles pour z.
L'équation transformée appartiendra donc au type de M. Picard, sauf que les périodes des coefficients ne seront plus 20)4, ?.tù2y mais 2/;i(0|, 2/710)2.
