I. — Notions préliminaires

F = o, F< = o, ... entre des variables indépendantes ^i,

x„, des fonctions de ces variables Ui, . . ., Um et leurs dérivées jusqu'à l'ordre/) peut être remplacé par un système ne contenant que des dérivées partielles premières.

En effet, chacune des dérivées partielles d'ordre p^ qui figurent dans les équations, est, par définition, la dérivée première d'une des dérivées partielles d'ordre/? — i; celles-ci sont des dérivées premières de celles d'ordre/? — a, etc. Si donc nous prenons pour inconnues auxiliaires les dérivée? partielles d'ordre <</?> les équations F = o, F| = o, ... ne contiendront plus que des dérivées premières; et il en sera de même des équations qui définissent chacune de nos inconnues auxiliaires, et qui, jointes aux précédentes, constitueront un système évidemment équivalent au système primitif.

On peut donc se borner à considérer les systèmes d'équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. II est même permis de supposer que les dérivées partielles n\ figurent que linéairement, à la condition de joindre au\ équations différentielles certaines conditions accessoires.

Soit en effet

dux du

âxi ôx

dll,n

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3oi

Il II semblable système. Prenons pour inconnues auxiliaires

les dérivées partielles -r— ^^ •••» -<-"-> que nous représente-

rons par/741, ' • "I Pmn^ Le sjstème donné équivaudra au suivant :

V \ V \X^j . . . s X^ X ^\i • ■ • > W;rt '1 Pwi • • . j Pmn) — - 0|

D'ailleurs, pour que F, . . . soient identiquement nuls, il faut et il suffit : 1° qu'ils s'annulent pour une valeur particulière Ç| de la variable x, ; 2° que leurs dérivées par rapport à ^1 soient nulles. Nous pourrons donc remplacer les équations (i) par les suivantes :

pour j;, rr: Ç|, et

Or les équations (a) et (4) forment un système d'équations linéaires, auquel il suffira de joindre les conditions accessoires (3).

Fir=:o, . . . , F/= o

entre n variables indépendantes x^^ . . ,, Xn et m fonctions

«I, . . ., Um sera en général incompatible, si Je nombre i de

ses équations surpasse le nombre m des fonctions inconnues.

Supposons en effet que les équations données renferment

3o3 TlOISlfeUB PAITIE. — CHAPITRE UI.

les dérivées partielles des fonclioas u jusqu'à Tordre /?. Joignons à ces équations leurs dérivées partielles saccessi^ef par rapport aux diverses variables indépendantes. Il arriveni nécessairement un moment où le nombre des équations oh*tenues surpassera celui des fonctions u et de leurs dérivée? partielles qui j figurent. En effet, lorsque nous prenons les dérivées partielles dWdre k des équations primitives, nous ob-

tenons i j équations nouvelles; d autr