L'équation

<i<j> zzi [X dy — jxX dx

se décompose dans les deux suivantes :

Eliminant [x, on obtiendra l'équation aux dérivées par-

tQOATlOHS DIFFÉURTIXLLBS OIDINAIMS, ig

lidles

L'intégration de cette équation aux dérivées partielles et celle de Féquation (i) sont deax problèmes entièrement équivalents.

En effet, soit f une solution (ou intégrale) quelconque de Téquation (3). On aura

L'équation

dy -^\dx=io

sera donc équivalente k d(f = o et admettra la solution générale

o = const.

Réciproquement y supposons que, par un procédé quelconque, on ait obtenu une solution générale de l'équation (i)^ telle cpe

c étant une constante arbitraire. Cette équation, résolue par rapport à c, prendra la forme

Différentiant, il viendra

dx dy ^

Cette équation devant être équivalente à l'équation primitive (i), les coefficients de dx et de dy doivent être propoi^ tionnels; d'où la relation

àx dy

Donc (jpi est une intégrale de l'équation (3).

TROISlblB PARTIR. — CHAPITRB I.

Celle inlégrale une fois connue, on pourra en déduire loules les autres. Soit, en efiet, cp une autre intégrale quelconque; des deux équations (3) et (4) on déduit

df

ôjy

ày

do,

ày

équation qui exprime que f est une fonction, d'ailleurs arbitraire, de Çi.

14. Quant au multiplicaleur |jl, il doit satisfaire à la condition d'inlé":rabilité

du. d[xX

el réciproquement, toute solution de cette équation donnera im multiplicateur.

Connaissant un multiplicateur [x et Tintégrale f correspondante, on en déduira aisément tous les autres. Soit, en effet, y/= [xv un autre multiplicateur; on aura

djxv dfxvX

dx

ày

dv^\

dy)

Donc V sera une intégrale de Téquation (3), et Ton aura V = F((p), F désignant une fonction arbitraire.