XY
. .. . XY-v/-i-X*-Y»
___ i-hX'
"^"XY+y/— i~X*-Y» "" iH-Y*
Éliminons le radical entre les deux équations équivalentes qui donnent Ç; il viendra
i+X«+(i4-Y*)Ç«— 2XYÇ = o, d'où
On trouvera de même (i5) X=Yt)-!-v/-i-V.
De ces deux équations on tirera
L'équation (lo), exprimée au moyen des nouvelles variables Ç, 7), prendra la forme
OÙ les coefficients M, N ont pour valeurs
dS.dY
"^rx^'^fi
aXY
ô\dY
Or ces deux coefficients sont nuls. En eOet, Téquation (n à laquelle satisfont i et y| peut aisément se mettre sous lo deux formes équivalentes
(XY±v/-,-X«-YOjJ+(.+Y«)^=o.
Ajoutons à celte dernière équation la dérivée de (i i) pai rapport à X et celle de (i6) par rapport à Y ; il viendra
x«)^;^+.xY ^'"
dX^
dXôY
aX
du -- du dX ai
Prenant successivement pour u les fonctions i, r., on aura M = o, N = o.
L^équation transformée se réduira donc a
et aura pour intégrale générale
^ et W étant des fonctions arbitraires.
281 . Il résulte de l'analyse qui précède que les surraces clierchées appartieunent à celles dont les coordonnées peuvent s'exprimer en fonction de deux paramètres Ç, y\ par des équations de la forme
z =z*,(;)-hV,(Tj.
Ces dernières surfaces jouissent de la propriété géométrique d'être engendrées (et cela de deux manières différentes) par la translation d'une génératrice de forme invariable. Il est clair en effet que les courbes r, = consl. représentent les diverses positions d'une même courbe déplacée parallèlement à elle-même. De même pour les courbes Ç = const.
Nous allons poursuivre l'étude du problème, pour achever de préciser la nature des surfaces cherchées.
282. Puisque x est la somme d'une fonction de ^ et d'une fonction de7|, nous pourrons poser
(f ei ^ étant arbitraires. Cela posé, on a
d'où
Y étant supposé constant dans l'intégration. Or les équations (i4) et (i5) donnent, dans cette hypothèse.
dX "" "^^
Substituant ces deux valeurs de dX. dans les intégrales correspondantes, et intégrant par parties le second terme de cha-
366 TROISIÈXB PARTIE. — CBAPITRK III.
cune d^elles, il viendra
C désignant une fonction de Y.
Pour obtenir maintenant y^ nous aurons à prendre la dérivée partielle de celle expression par rapport à Y, en supposant que les variables indépendantes soient X^ Y^. On a, dans cette hypothèse, en prenant les dérivées partielles de5 équations (i4) et (i5),
En tenant compte de ces relations, la dérivée de Z se réduira à
Mais j' doit être de la forme <t>(ç) -h W(7|); et son dernier
terme ^y est une fonction de Y, qui ne peut être de cette
forme que s'il se réduit à une constante. D'ailleurs on peut fondre celle constante dans la fonction arbitraire (p, de telle sorte qu'on ait simplement
La quantité G qui figure encore dans l'expression de Zsera une constante qu'on peut supprimer en la fondant avec les inlégrales.
Il ne reste plus qu'à déterminer la quantité
z=2Xx -{-Y V — Z.
En y substituant les valeurs trouvées de j?, y, Z et tenant
compte des relations (i4) et (i5), il viendra
Nous avons ainsi exprimé les trois coordonnées x^ y^ z des surfaces cherchées au moyen des paramètres S, 7|.
283. Considérons l'équation aux dérivées partielles du premier ordre
OÙ a, p sont des fonctions données de x, y^ z, /?, gr, dont Tune au moins contienne p ou q^ et ^ une fonction arbitraire.
Prenons les dérivées partielles de l'équation. Il viendra
^<ï» rdu du Ou âul
du\^dj: âz dp d/j
ô^ V âi^ ai' dv ôv~\
dv yOx ^ ôz dp ôq \ '
d^ \ du du du du~\
du [ dv dz dp dq J
d^rjt' dv dv dv~\
dv \^dy ' dz dp àq\~~ '
Eliminant le rapport 3- : v-» on obtiendra une équation
^^ du dv *
du second ordre, de la forme
(18) H/--t-2K5 4-L^ + M-hN(rr — 5«)=o,
oiï H, K, L, M, N sont des fonctions de x, y^ z, /?, g.
L'équation (17) du premier ordre est dite une intégrale intermédiaire de cette équation du second ordre.
Réciproquement, étant donnée une équation du second ordre de la forme (18), on peut se proposer avec Monge de reconnaître si cette équation admet une intégrale intermédiaire et de déterminer celle-ci lorsqu'elle existe.
368 TROISlfeSlB PARTIE. — CnAPITRK 111.
284. Supposons que Téquation (i8) admette une intégrale intermédiaire (17). Soit V ce que devient le premier membre de Téquation (17) pour une détermination donnée à volonté de la fonction <l>. En changeant 4» en <I> — c^ c désignant une constante arbitraire, on obtiendra l'équation
comme cas particulier de (17).
Toute solution de cette équation satisfera donc à Inéquation (18). Mais elle satisfait en outre aux deux équations
^P dz
dV dp
dy
-hs
dp
obtenues en prenant les dérivées partielles de (ip).
Tirons de ces équations les valeurs de r, s pour les substituer dans (18); il viendra
(ai) P + Qt = o,
en posant, pour abréger,
^'-^\dT'-^''d.)drf-^à,j[-<û^PTz)
-^{dy-^'^Tz)dç-'^\d^^PTz)d^-
L'équation (21) doit être une conséquence de l'équation (19). Mais les seules relations indépendantes de la constante c que celle-ci établisse entre Xj y^ 3, /?, y, r, 5, / sont évidemment les relations (20). Or, si nous supposons que V
contienne p, le déterminant (--r-) des relations (ao), par
ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. BGg
rapport à r et 5, étaot ^ o, on ne pourra en déduire aucune relation nouvelle, indépendante de r et de 5; donc Téquation (21) ne pourra subsister que si Ton a identiquement
Ce sont deux équations simultanées du premier ordre, auxquelles la fonction V doit satisfaire. En général, elles sont incompatibles; mais, si elles ont des solutions communes, chacune d'elles donnera une fonction V, telle que Téquation V= c entraîne comme conséquence Téquation (18).
285. Ces équations P = o, Q = o sont du second degré par rapport aux dérivées de V; mais elles peuvent être notabletnent simplifiées.
En effet, éliminons entre ces deux équations la quantité
r ^ P 'TZ* nous obiendrons cette nouvelle équation
^(HL-MN-K«)(^^^y=o;
<d'où l'on déduit, en posant, pour abréger,
G = K»-t-MN — IIL,
Substituons dans O = o la valeur de -. h 7 -r- tirée de
^ ay ^ az
cette équation, et supprimons le facteur commun --r- ; il viendra
<^4) ^(5^-^/-e)^;-L^-H(Kqzv^)^=o.
Les deux équations (28) et (24) sont linéaires. Si G n'est pas nul, on pourra prendre successivement pour yGles deux
J. — Cours, UI. 24
370 TROISIÈXB PARTIE. — GBàPITRB 111.
valeurs dont cette quantité est susceptible ; on obtiendra ainsi deux systèmes d'équations linéaires
et
et V devra nécessairement satisfaire à Tun des deux. Si G e>: nul, ces deux systèmes se réduiront à un seul.
