Dans le premier cas, les intégrales définies

donneront une nouvelle solution, quels que soient le champ de l'intégration et la fonction <p(a, p, . . .). En effet, il est

ÉQOATIONS AUX DfiBITÉES PARTIELLES. 879

clair que le résultat de la substitution de ces intégrales, dans Tune quelconque des équations (i i) ou (la), sera

(16) |gcp(a,?, ...)Mé/aé/?,..,

M désignant le résultat de la substitution de/t, /i, .... Mais M est nul, par hypothèse : donc Tintégrale (i6); ayant tous ses éléments nuls, sera nulle elle-même.

Cela posé, nous tâcherons de déterminer le champ de rintégration et la fonction arbitraire f , de telle sorte que la solution (i5) satisfasse aux conditions (i3). Si nous y parvenons, nous aurons satisfait à toutes les exigences du problème.

293. Dans le deuxième cas, on substituera successivement dans la formule (14)9 pour les paramètres a, P,..., les divers systèmes de valeurs dont ils sont susceptibles; on obtiendra ainsi une suite illimitée de solutions

Nous obtiendrons une nouvelle solution plus générale en posant

(,7) V, =:c'v; -h c*v; -+-..., v,=c'v;-hc'v;-h..., ...,

c\ c", . . . désignant des constantes arbitraires.

Il est clair, en effet, que le résultat de la substitution de ces valeurs dans Tune quelconque des équations (1 1) cl (12) sera de la forme c'M'-f- c^lW-l-. . . , M', M", ... désignant les résultats respectivement obtenus parla substitution des diverses solutions simples. Or M', M'', ... sont nuls, par hypothèse; donc c'M'-h c"RrH-. . . le sera, et les séries (17) donneront une solution.

Il restera à déterminer les coefficients arbitraires </, c", ..., de telle sorte que ces séries soient convergentes et satisfassent aux conditions (i3). Le problème sera dès lors résolu.

Nous allons éclaircir cette méthode par quelques exemples.

38o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE ni.

294. Propagation de la chaleur dans un milieu indéfini, — On a à intégrer Téquation

jointe à la condition initiale

U=/(x,/, ^) pour r=:o.

L'équation (i 8) admet évidemment comme intégrale particulière l'expression

U'=: cosm(x — X) ces v{y — |x) cosw(a — v) e-'"*-»"''-^"*-*',

e/, (;, Wy \ p., V étant des constantes arbitraires. Elle admeUra donc comme solution l'intégrale

f / / \}'dudvdw,

laquelle est le produit des trois intégrales simples

Jf e-«'"'' cos£/ (j7 — X )é/w,

/ e-"**''' ces t' (/ — |x)^(',

r «-«•«''' cosiï'(- —v)^w.

Les intégrales sont aisées à calculer. Nous avons trouvé, en efi'et (t. II, n« 165), la formule

/ e"*^y^ ces 2 bydy = \ ^Tza * e " .

Changeant dans cette formule^ en u, a en a-t, b en »

il viendra

^-«•«•'cosm(^ — X)rfw=AvAï -j=-'

Calculant de même les deux autres intégrales, il viendra

(JT-X)» (y-\i-i* (»-v)»

3 /, 4/1*1 /» 4.1*/ >, knU

2a\/t 2 a s/1 lasfi L^intégrale

^=^* r r r/(^.i*.v)U'tArfH^rfv

sera encore une solution.

Cette expression peut se transformer en posant

2a\'t aay^ 2ay/^

Il viendra

Cette valeur de Use réduit pour ^ = oau produit de/^x^y^z) par les trois intégrales simples

-L fe-^'d^, -^ fe-^'d?, -L fe-Vd-i.

Mais on a

JtZ t/,o V "ï^ fc' 0

(t. II, n° 163); et de même pour les deux autres intégrales. L'expression U satisfera donc à la condition initiale

U =/(j:', y, s) pour f = o

et sera la solution du problème.

295. Propagation du son dans un espace indéfini, — On a Téquation aux dérivées partielles

dt^ ~^\'dx^ ^ Or

38a TROISIÈMB PARTIB. — CHAPITRE OI.

avec les conditions initiales

dV j, , , J pour < = o.

On peut poser U = U' -h U", U' et U' étant les solution5 obtenues en combinant à Téquation diflférentielle les conditions initiales

et

Calculons d'abord U'.

On voit immédiatement qu'on satisfait à l'équation au\

dérivées partielles et à la condition initiale U'= o par la so-

lution simple

U' = ces M sina/7,

où nous posons, pour abréger,

M = u{x — X)-h v{y — |j.)4- tv(5 — v),

On y satisfera plus généralement par l'intégrale (19) X ■ ^-7^^^ — ces M sin art dX diadv du dvdw,

F désignant une fonction de X, (i., v, qu'on peut choisir arbitrairement, ainsi que le champ d'intégration.

Les variables a, r, w d'une part, X, |i., v d'autre part, peuvent être considérées comme des coordonnées rectangulaires. Remplaçons u^v\w par des coordonnées polaires r, 0, îp, ajani pour centre l'origine et pour axe polaire la droite qui joint l'origine au point x — \ y — ^j ^ — v. Remplaçons, d'autre part, X, uL, V par des coordonnées polaires r',6', cp', ayant pour centre le point x,y, z et pour axe polaire une parallèle aux 5.

fiQUATI0?C8 AUX DÉRITÉBS PARTIELLES. 883

On aura

X = X 4- r' sin6' co9<p',

fjL = j' -f- r' sin 6' sin o', v=i: ^ -h r'cosO';

M^= ii(j? — X)-H (^( j — ti)-H w(z — v) = rr'cosO,

cfa c^ç' é/w =1 r* sin 6 dr d^ dr^, dXd[Ldv = r'^ sin e' dr' d^' d^' .

L^intég^ale deviendra donc

VF cos (rr' cosô) sin ar/ rsinô dr d^ d^ r'*sin6' dr' d^' do'.

Supposons que le champ de Pintégration soit pour 6 et 0' de G à TT, pour ^ et f' de o à 2ir, pour r et r' de o à oo.

Les intégrations par rapport à f et 0 pourront s'effectuer en remarquant que sinOrf9 = — c/cosO. L'intégrale deviendra

4it V F r' sin rr' sin art sin 6' dr' dh' d'u' dr

=:2Tr V Fr' [co3r(/*'— at) — qo% r {r' -\- at)\ sin d' d^' do' drdr'.

On pourra encore effectuer les intégrations par rapport à /• et r' en appliquant la formule de Fourier

f ^{^rV(P)cos|x(3-.^)rf.3=^[/(^ + o)4-/(a;-o)]

démontrée au t. II, n* 226.

Soit, en- effet, ^(r') une fonction égale à Fr' quand r'^o et nulle quand r'<; o. On aura

^ dr I Fr' [cos r {r'— at) — cos rir'-^ at)]dr'

— / dr I <{/(/•') [cosr(r' — at) — cosr(r'-t- at)] dr'

= -[4'(û5^4-o)4-<Ka/ — o)] — - [^{— at-h o) -h ^{— at — o)].

Cette formule suppose seulement : i** que la fonction'^ a uiie variation limitée entre — oo et 4-00 ou, ce qui revieci au même, que Fr' a une variation limitée de o à oo; a^qc^ rintégrale

est finie. Si nous admettons en outre que la fonction F es: continue, le second membre de Texpression précédente se réduira, si ^ >► o, à Tz^{at), car ^( — at) sera nulj si t <o. il se réduira à — 7ttj^( — at). Enfin, si ^ = 0, il se réduin à zéro.

On aura donc, pour toute valeur de tj

f dr I Fr'[cosr{r' — at) — cos r (r' -h at)]dr' =1 r.at F {X -^ at' s'in ô'cosçp'jj' 4- a^' sinô'sintp', s-f-a/'cos6

l' désignant le module de t.

Nous obtenons ainsi, en supprimant les facteurs constants, comme solution de l'équation aux dérivées partielles, Teipression

^îTc ^rt

j j H^(a7H-a^'sin6'cos<p', j-i-ai'sinô'sin ç', z-^at'cos^'}

X sine'^'rf?.

Pour « = o, cette intégrale s'annule, et sa dérivée se réduit évidjemment à

Nous satisferons donc à toutes les conditions du problème si nous posons

Nous obtiendrons ainsi, comme solution, l'intégrale dé-

fiQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 385

finie double

Jf / r/i(ic-ha/'9in6'cos«p', 7-f-a^sin8'sîn^', z-h at' cosb') 0 ^0