Calculons maintenaDt U
On satisfait évidemment à l'équation différentielle et à la condition initiale
dt "
pour
par
la solution
simple
cos
\M cos art y
et plus généralement par l'intégrale définie 5 VF(X, {i, v) cosMcosartdXd[Ldydud(^div
=1 r— V ^ * ^' ^ cosMsïn art dXdtkdy du dvdw
dt 211*0 ij r ^
= -rr / / /F(iF-f-a^'8in6'cos^',j^H-a^'sinô'8in<p', ^-ha^'cosO')
XsinO'ûTô'rfç'.
D'ailleurs, pour ^ = o, cette expression se réduit à
On satisfera donc à toutes les conditions du problème en posant
ce qui donnera
— -^-r- / / ^y(ic-ha^'sin6'cos«p', ^-4-ai'sin6'sinïp',^H-ar'cosO')
X sin^' d^' d'f' .
On aura enfin
Cette solution suppose toutefois, comme on Ta vu d'après J. — Cours, III. -jS
38G TR0I8IÈMB PARTIR. — CHAPITRE IXI.
la démonstration : i° que les fonctions
/(X, fi, v)/^, /,(X,jx,v)r'
ont une variation limitée lorsque le point \ |jl, y décrit uoe droite partant d'un point quelconque a;, y^ z de l'espace, et allant jusqu'à l'infini dans une direction quelconque; a** que les intégrales
fl/r'ldr', Jl/.r'Irfr' prises le long de cette droite sont finies.
297. Supposons qu'à l'instant initial il n'existe de mouvement qu'aux environs de Torigine des coordonnées, de telle sorte que les fonctions
soient nulles pour toutes les valeurs de x^y^ z extérieures à une sphère de rayon e décrite autour de l'origine. Décrivons une sphère de rayon at^ ayant pour centre l'origine; on pourra la représenter par les trois équations
{ H- at' sin 6' cos<p' :=: o, T, -f- atf sin 6' sin ç' z=z o, î 4- a/' ces 6' =io.
Pour tout point x^ y, z dont la distance à cette sphère est >• £ on aura, pour toutes les valeurs de 0' et ç',
=. {x -\- at' sinô'cos<p')*
{y -h at' sin 6' sin (p' )• -h ( js -f- a^'cosO')*> e.
Les fonctions
f{x H- a/'sin6' cos<p', y -h at' sînô' sincp', z -h at' cosô') et
/i(^ 4- a^'sinO'coscp', j -+- a^' sinO' sin^', -s 4- a^' cos 6' )
seront donc nulles dans tout le champ d'intégration, et Ton aura par suite U = o.
La fonction U sera donc nulle à chaque instant dans tout l'espace, sauf dans Tintérieur de Yonde sphérique comprise entre les deux sphères de rayon at' -+- e et at' — e.
298. Problème de Cauchy. — Considérons plus généralement un système de fonctions inconnues U, V, ... des variables f , Xy y^ z, déterminées par un système d'équations
ayant pour premiers membres des fonctions linéaires à coefficients constants de U, V, ... et de leurs dérivées partielles, et par les conditions initiales
, , , aV ) pour t z= O,
Posons, pour abréger,
//, ^fy Wj \ [JL, V étant des constantes, et
du dv dw dkd\Ld'4z=. da.
Nous allons prouver que la solution du problème est donnée par les formules
où le champ d'intégration par rapport à chacun des couples de variables m, X; i^, (jl; wp, v est un rectangle infini ayant pour centre l'origine des coordonnées; T, 0, ... désignant
388 TROISIÈME PAtTIE. — CHÀPITM HI.
d'autre part des fonctions de t définies : i^ par les équatioDf différentielles
OÙ Jl, ^iy ... se déduisent de R, K|, . . . en y substituant
au\ dérivées partielles
les expressions
^(i«)P(iV)T(«W)«, ^(e«)P(,V)r(,W)8. ...;
^^ par les conditions initiales
T=/(x, |x,v), -^ =yi(x, [x,v),
(a3) { ^^ } pourf = o.
Substituons en effet, pour U, V, ..., les valeurs (21) dans Tune des équations (20), la première, par exemple; comme on a évidemment
do: (27r)'kJ dx (27t)'kj
le résultat de la substitution dans R sera
ou, en vertu des équations (22),
ÉQUATIONS AUX DfiRlTÉSS PARTIELLES. 889
Or on a
= [cosu {x — X) -h isinu {x — X)] X [cost' {y — |x) -h isiiK' {y — fx)] X [cosw(« — v) 4- iûïkw{z — v)].
EfTectuant les produits, on obtiendra huit termes qui tous, à Texception dW seul, contiendront un sinus en facteur.
Considérons un de ces termes, contenant par exemple le facteur ûnu{x — X). Les éléments qu'il fournit à l'intégrale pour deux valeurs égales et opposées de u se détruiront.
Au contraire y les éléments fournis par le terme
co%u{x — X)cos<'(j— fl) cos»'(^ — v)
pour des valeurs égales et contraires assignées à l'une des quantités {/, Vy w seront égaux. L'intégrale (24) se réduira donc à
-^ V cosa(a? — X) cosc(/ — \k)co%vp{z — v) tïT(^, X, ji, v)ûfa,
//, p, w ne variant plus que de o à 00.
La double intégration par rapport à a, X donnera comme résultat, d'après le théorème de Fourier,
— ^ ces 1^(7— |Ji) co%w{z^^)xa{t,Xy iL^^)dv dwdidy.
Intégrant par rapport à p et {x, on aura de même, comme résultat,
- V cosMP'(3-- v)t!ï(^, x,y,s)dwdyt, et enfin, en intégrant par rapport à iv et v,
ce qui est précisément le second membre de l'équation aux dérivées partielles.
Sgo TROisitn partie. — chapitrb ni.
Les conditions initiales sont également satisfaites, car od a, pour r = o, en vertu des équations (aS),
dU
et il suffira de changer w en /, /, , ... dans les raisonnements précédents pour montrer que ces expressions sont respectivement égales à/(ar,^^, ^),/i {^O'f ^^y • - •-
299. Propagation de la chaleur dans une barre indéfinie dans un sens. — Nous aurons réquation aux dérivées partielles
de âx^'
avec la condition initiale
U=:f(ar) pour^rzzo, x'>o et la condition à la limite
U— o(0 pour a? =1:0,
.^^ , ^^, , on»
gine de la barre.
On pourra poser
U' devant satisfaire aux conditions
Vr^f{x) pour ^r-o, j:>o; U' = o pourj7=:o, .
et U'' devant satisfaire aux conditions
U ' irr O pour ^ =: o, JT > O ;
\j":^'^{t) pOUrj;=::0.
fiQUATlONS AUX BÉHITÉBS PÀRTIRLLES. Sgi
Calculons d'abord U'.
On satisfait à la condition U' = o pour ^ = o, ainsi qu'à l'équation aux dérivées partielles, par la solution simple
sinuxe-''****'
et par la solution plus générale
f sin«a7e-«'«''F(w)éftt,
laquelle, pour t== o, se réduit à
f sinuœ F(w) du.
Il restera donc à déterminer F (a), de telle sorte qu'on ait
f s'in ua:F (u) du ::z^/(.v) pour j: > o.
On y arrivera en posant
F(m) = - f sin uX /{\) dX.
On a, en effet,
- 1 I sinux iin tiX /('k)d\
rt ao /•• oD
^ ' I I [cosu{x — X) — cosa(a? -hX)]/(X)rfX,
et, en désignant par ^(X) une fonction égaie à /Çk) pour X> o, à zéro pour X <C o, cette intégrale aura pour valeur
\[^{x -^o) -h+(^ — o) — <K — or-ho) — ^{—ûc — o)],
quantité qui, pour a? >• o, se réduira à /(.r) [en supposant f(x) continue].
393 TROISifcMB PART». — CHAPITRE 1II«
La solution du problème sera donc Tintégrale double -f f «-«••''[cos«(a? — X)— •costf(a?-f-X)]/(X)^arfX
ou, en cfTectuant Tintégration par rapport à u, comme au n° 294,
(25) — --= I /C^)dk[e *-" -c *-' J.
300. Passons au calcul de U"^. Ce problème se ramène an précédent, comme nous allons le voir.
Nous traiterons d^abord le cas particulier où cp(/) se réduit à la constante i. On aura, dans ce cas,
W étant une nouvelle solution qui satisfasse aux relations
W— - — I pour /:r=o, j;>o; W -" o pour x^zo,
(^clte dernière fonction s^obtiendra en posant /Çk) =■ — i dans la formule (?5). On aura donc
U'zizi L—l / e ■*«*' d\~ I e *"*'"tA .
Cette expression peut se simplifier. Changeons, en effet, de variables en posant, dans la première des intégrales ci*
dessus,
2a y t et dans la seconde,
• lasjt
Elles deviendront respectivement
y Tv J .g. y-rz J ^
ÉQUATIONS AUX DÉRITfiSS PARTIELLES. SqS
et, auront pour somme
i/TT •/ - i/lU »/a
in ai s on a d'ailleurs
On aura donc finalement
IIZ.A Ç e-PV?.
expression que nous désignerons par yjx^ t),
301 . Passons au cas général où <p(^) ne se réduit pas à une constante. Nous allons démontrer qu'on a
<2G) u^:^?(o)x(^,0-^ r X{x,t-\)^'{\)dk.
En effet, '/^(x, t) étant une solution de Téquation aux dérivées partielles et celle-ci ne changeant pas si Ton y change t en t — X, y^{Xf t — X) sera encore une solution.
L'intégrale / y^(^, t — X) <f'Çk) cfk, prise entre des limites
constantes, sera une solution, et il en sera encore de même si la limite supérieure, au lieu d'être constante, est égale à t; car cette supposition ne fait qu'ajouter à la dérivée partielle de l'intégrale par rapport à ^ le terme ^(^, o) f'(^), lequel est nul dans toute Fétendue de la barre, d'après les conditions qui ont servi à déterminer la solution x(^> 0-
Donc les deux termes de U'' sont des solutions de l'équation aux dérivées partielles. Tous deux s'annulent d'ailleurs pour ^ = o dans toute l'étendue de la barre. On aura donc
U''=:0 pOUr/znO, X > O.
394 TftOISlÈn PARTIE. — CRàPITIIB ni.
Enfin, pour x = o, on a
et
Donc U' satisfait bien à toutes les conditions du problî;!
302. L^expression (26) peut se transformer aumoyeaoi| rintégration par parties. On a, en efiet,
D'ailleurs <p(^)'/(j', ^ — ^) s'annule pour X= f, etsenduit à ç(o) '^{^i t) pour X -— o. On aura donc simplement
Remplaçons maintenant x{^, t — \) par sa valeur
ïav/-X
on aura
et enfin
;, il
La méthode dont nous nous sommes servi pour ramener Ir calcul de U" à celui de U' est évidemment applicable à tous les problèmes analogues.
303. Cordes vibrantes. — Gonsidërons une corde tendue i.ir la portion de l'axe des x comprise entre o et /. Désignons par U le déplacement suivant l'un des axes coordonnés lu point dont Fabscisse serait x dans l'état de repos. Nous aurons l'équation aux dérivées partielles
à laquelle il faudra joindre les conditions initiales
dV , , . l pou»' i~o, o<x <l et les conditions aux limites
U :r=: o pOUr a: i= O,
U — o pour ;r =: /,
lesquelles expriment que les extrémités de la corde restent fixes.
Nous avons trouvé (273) que l'intégrale générale de l'équation ( 27 ) est
Il reste à déterminer les fonctions (p et ({^ de manière à satisfaire aux autres conditions du problème.
Les conditions initiales donnent, pour l'intervalle deo à /,
a^^'{x) — a'^'(^)---/l(J7); d'où, en intégrant,
aîp(a?) — a'^{x)=l f^{x)dx-\-c et enfin
396 nOISifeMB PARTII. — CHAPITRE ITl.
D^aillenrsy U ne changeant pas quand on accroît Ja fonc tion o d*une constante quelconque en diminuant d^auir part la fonction ^ de la même quantité, on pourra, ua^^ nuire à la généralité de la solution, supposer c = o.
Les fonctions ^{x) et ^(x) sont ainsi déterminées dazf | rintervalle de o à /. Les conditions aux limites donoec: | d'ailleurs les identités
^ (/-+- ar) -h <]/(/— a^) 131 o; d'où, en changeant at en Xy
Cette dernière équation donnera la valeur de tf pour les valeurs de Fargument comprises entre /et 2/. En y changeant ^ en — X, elle donnera la valeur de ^ dans le mêroe intervalle.
Enfin, en y changeant l en l-h x, il viendra
d'où
La fonction (p admet donc la période 2/. Il en sera de même de la fonction
Les deux fonctions cp et ({^, admettant la période 2 / et étant connues dans l'intervalle de o à 2 /, seront déterminées pour toutes les valeurs de l'argument.
304. La méthode d'intégration précédente, due à Euler, est spéciale au problème des cordes vibrantes. Le procédé de Bernoulli, que nous allons exposer, est, au contraire, l'application directe des principes établis au commencement de celte Section.
On satisfait à l'équation aux dérivées partielles et aux
conditions aux limites par les solutions simples
. mizx mTzat mizx rmzat
sm — j — cos — -z — j sin — j — sm — -. — y
3Ù /n désigne un entier quelconque.
On y satisfera plus généralement par la série
U = > A;„ sm —^ cos — 2 ^ X*^'» ^^^ — ]
sm— ^,
m prenant toutes les valeurs entières de i à oo.
Reste à déterminer les coefficients An, et B;,,, de manière à satisfaire aux conditions initiales. En y substituant cette va* leur de U, elles deviendront
\ A^sin^^=/(j?), V' rmza
^ , rmzx
et Ton y satisfera (t. II, n^ 238) en posant
. mizx , m— T f y va) sm —j- d:t,
ira ^ r ^ f \ ' 'WTca ,
305. Refroidissement d^une barre hétérogène. — Ce problème dépend de l'intégration de l'équation suivante
jointe à la condition initiale
(29) \] =if{x) pour ^ = 0, a7>o < X et aux conditions aux limites
(30) k-z h\i:=.o pour a? = 0,
(3i) A'-j — hHU:=o pour a? zz; X.
398 TROISIÈME PARnB. — CHAPITRE III.
La barre est supposée s'étendre sur l'axe des :r de o à X; g^ ky l sont des fonctions de x^ positives dans toute Tétendue de la barre et représentant respectivement la chaleur spécifique, la conductibilité intérieure et le pouvoir émissif sur chacune des sections transversales; h et H sont des cod* stantes positives.
On satisfait à l'équation (28) par la solution simple
r désignant une constante et V une fonction de x qui satisfasse à l'équation linéaire du second ordre
Les équations (3o), (3i) donneront
(33) A- -7 /iVmo pourj;r=o,
(34) A-^-hHV=.o ^ouTX^X.
Soient V, V" deux solutions particulières de Téquation (82); l'intégrale générale sera
et cette valeur, substituée dans les équations (33) et (34), donnera
On pourra satisfaire simultanément à ces deux équations
par un choix convenable du rapport -7 si leur déterminant
est nul. Ce déterminant est une fonction de r que nous désignerons parny(r).
Soient Tj, Ta, ... les racines de Téquation Tîj(r) =0. A
chacune d'elles, telle que /•„, correspond une intégrale V/i telle que la solution simple
satisfasse à la fois à Téquation aux dérivées partielles et aux équations aux limites.
On y satisfera plus généralement en posant
et cette nouvelle expression sera la solution du problème, si elle satisfait en outre à la condition initiale.
Il ne restera donc plus qu'à choisir les coefficients Â, de telle sorte qu'on ait
ZA^Ym-:^ f{x) de xzzzo k x=zX.
306. Ija détermination de ces coefficients repose sur une propriété importante des fonctions V„, que nous allons exposer.
Le paramètre r restant provisoirement arbitraire, désignons par V celle des intégrales de l'équation (32) qui satisfait, pour X = Of à la condition initiale (33). Ces deux équations pourront s'écrire ainsi
(87) k-^ ^Vi=:o pouric = o,
en substituant aux difierentielles ordinaires des signes d de dérivation partielle, pour mettre en évidence ce fait que V dépend non seulement de x, mais du paramètre r.
Donnons à ce paramètre une autre valeur r'. Soit V la valeur correspondante de V ; on aura
(39) k-^ li\'=zo pour 57^0.
400 TROISifcHB PARTIE. — CHAPITRE m.
Retranchons Tune de l'autre les équations (36) et (38 . respectivement multipliées par V et V; il viendra *J
dx | \ dx àjc J \
et, en intégrant de o à X,
<^-,)jrVv'^=[*(vg-v^)];
car, pour a: = o, 1 expression «: ( V -^ V -r— 1 s annule
vertu des équations {3y) et (Sp).
Posons maintenant r = rm, /'' = r,„ r^ et rn étant deux racines distinctes de Téquation w{r) = o; V et V se réduiront à Y m et V„, et l'on aura, pour a? = X,
en
d'où
*(vS-vf)=,.
L'équation (4o) se réduira donc^ en supprimant le facteur
(40 f g\„\adx = 0.
t/ft
Soit, en second lieu, r=rn, r^= rn-i- ^9 ^ étant un infiniment petit. On aura
dV d\n dx dx
dr ' ' dx dx • dxdr
ÉQUÀTIOlfS AUX DÉBITÉES PÀRTIBLLBS. 4oi
Substituant dans l'équation (4o), divisant par t et passant à la limite, il viendra
307. Nous allons maintenant établir que, si Ton débarrasse Véquation m{r) = o des racines parasites pour lesquelles la solution V correspondante serait identiquement nulle, les racines restantes seront toutes réelles, inégales, positives et en nombre inGni.
i® Si Tîy(r) = o admettait une racine imaginaire r,„ = a-+- pi, elle admettrait sa conjuguée r,, = a — ^i. A ces deux racines correspondraient deux intégrales conjuguées Yn = p -hçit Vu =/> — gt\ et l'intégrale
aurait tous ses éléments positifs, ce qui est absurde, puisqu'elle doit être nulle.
2® Si lïj(r) = o admettait une racine double r, l'intégrale correspondante V/i satisferait, pour a; = X, non seulement à l'équation
mais à sa dérivée
â^\ âY
dx dr dr
On aurait donc, pour a: = X,
dr ôx dxdr '
d'où
gy\ dxz^O,
résultat absurde, tous les éléments de l'intégrale étant positifs.
J. — Cours, m. a6
4oa TBOISitHB PARTIE. — GBAPITIIB HI.
3® L'équation tïj(/') ^= o ne peut avoir de racine négatÎTe ou nulle.
En effet, si r^o, / — rg sera positif dans toute l'étendoe de lu barre, et les équations
(44) k h\ -= o pour a: — o,
(45) A-^-hHVirzo pour^rzX
seront contradictoires.
En effet, l'équation (43)» intégrée de o à x, donne
= [AV], +f {l-gr)\dx.
La fonction V varie avec x en partant de la valeur initiale Vo; tant qu'elle ne changera pas de signe, tous les éléments
de l'intégrale / (/ — gr)V dx auront également le signo
de Vol donc -7— aura ce même signe, et, par suite, V s'éloignera de zéro.
Il résulte de là que, dans tout l'intervalle de o à X, V s'é-
dV
loigne de zéro et conserve le même signe que -j—' Donc l'équation
k -j— -h HV = o pour ;r = X
ne pourra avoir lieu, ses deux, termes ayant le même signe.
308. Les racines de Tîj(r) = o sont donc toutes réelles, inégales et positives. Il reste à prouver qu'elles sont en nombre infini. Nous y arriverons en étudiant l'allure des in-
ÉQUATIONS AUX DÉRITÉES PARTIBLLB9* 4o3
t égarâtes de Téquation (32) ou, plus généralemeaty d'une <5quation de la (orme
OÙ K et G sont des fonctions de x.
On peut remarquer incidemment que toute équation linéaire du second ordre
peut être mise sous cette forme. En effet, multiplions cette équation par un facteur indéterminé M. Elle deviendra
iMP^-,- -f- MQ J^ -+- MRV — o
ou
^ MP — -h TmO - ^^^ — dx dx \ ^ dx ) dx
Le terme en -j— disparaîtra si Ton pose
dx
d'où
<"t enfin
