On a(36o

UÎ+ ui+u}-o.

Substituant dans cette relation les valeurs ci-dessus de U|, Uj, Us, nous obtiendrons une nouvelle idenlité

Les formules (6) du même ntiméro donneront de même

- tU?

(30) |e...= :=i^^= fey "•(«)■

puis ces nouvelles expressions de ei, ^2, ^3,

3e,=--^,~(?,-(>,-eO=(^J[ 05(o)-+-ei(o)], (3i) 3<?,=.(?,~^,~(>,~6',)=(^y[-0}(o)-0{(o)], 3e,^e,-e,-(e,~e,)r=(^-^y[ ej(o)-e5(o)].

Ajoutons les carrés des équations (3o), il viendra

f7^Y[OÎ(o) + 05(o) + 05(o)] = (^,-^,)«-+-(et-e,)«-+-(e,-e,)* r= 2 (ei -f- e, -4- e^y — 6 (^j e, + ff, ff, -h e, e,) = | ^, ;

d'où

Le second invariant ^3 = 4^< ^2^3 s'obtiendra par la miilliplicalion des équations (3 1).

Le discriminant A sera donné par la formule

i A=i6(e,-e,)M^i-^a)'(^t-0- Oo aura enfin

w, ,^; • [6î(o) + eî(o) + eMo)]' '•^-•^ ^-r-54 6"(o) —

392. Les formules précédentes donnent le moyen pratique (l'exécuter les calculs relatifs aux fonctions elliptiques, en les supposant définies soit par leurs périodes, soit par leurs învariauts.

Supposons d'abord le réseau des périodes donné. Nous Y choisirons à volonté un couple de périodes primitives 2o>|,

ticoj telles que le rapport t = — := r -f- 5/ ait sa partie ima-

ginaire positive; q^ sera déterminé par l'équation

1 TClT

11 importe, pour rendre plus grande la convergence des développements à employer, que la quantité | y | = e""*^ soit la plus petite possible. Il faudra donc rendre s maximum et, par suite, choisir pour 2(i)| la période de module minimum. On aura, dans ce cas (317),

d'où

szsm T> o

On pourra choisir pour 2(i>2 la seconde période du triangle principal. Si celui-ci est rectangle, on aura ainsi l'avantage de trouver pour q une valeur réelle.

Connaissant ainsi (o,, CO2 et q\ on calculera t^ par la formule (19), puis 7i2, r,3, W3 par les formules

^11 H- 'ij -+- "n» = o, w, -h (o, -h CO3 =^ o.

Les autres constantes Uj, Ua, U3, ei, ^2, ^3, ^2? 5^37 ^« J se calculeront par les formules des n"* 390 et 391 .

393. Réciproquement, supposons donnés g^ et ^3 et cherchons à calculer les périodes principales 2(i>i, 'aiù^ et la

quantité auxiliaire ^^

Nous déterminerons d'abord les racines e^, €>. e^ de l'équation

^^^ — gt^ — g^ — Oy

en les numérotant de telle sorte que ^2^3 soit le plus petit côté du triangle, et que e^Cx lui succède dans le sens direct.

On aura ensuite

les déterminations des radicaux étant précisées comme au n« 368.

Pour obtenir </, divisons membre à membre les équations (iS) et (27) et posons, pour abréger,

il viendra

1 a — \ q -^q^-ir . . . /i-f-7'4-...\

2 aH-i i-+-2^*H-... ~^\i-h2 <7*H-... '

11 nous faut calculer parmi les racines de celte équation celle dont le module est minimum. Nous savons que ce module est <[ j. Le facteur entre parenthèses est donc très voisin de l'unité; en le négligeant, nous aurons

avec une erreur relative moindre que âôVô* ^^ pourra d'ailleurs corriger cette valeur dans une seconde approximation. Connaissant q, on obtiendra 2(0| par Tune ou Tautre des équations (27) on (28), puis 2CO2 par la formule

7C/ft)t

d'où Ton lire, en désignant par Log^jr Tun des logarithmes de q choisi à volonté,

2w,- — Log<7-h4mjù)„

nii étant un entier positif ou négatif; nous le choisirons de manière à rendre | 20)2 1 minimum, ce qui achèvera de préciser cette seconde période. Nous aurons enfin

1 7Cfli>(

Nous pourrons donc, quelles que soient les données initiales, déterminer toutes les constantes qui figurent dans les expressions de rf^^, (S'a", î^w, pu et, par suite, calculer les valeurs de ces fonctions pour une valeur donnée de 11,

394. Réciproquement, supposons j)£^ donné et proposonsnous de calculer les valeurs correspondantes de u.

Soit Uq Tune d'elles; elles auront, pour formule générale,

zh Wo-h 2/?ijW,-}- 2/n|W,.

Les valeurs correspondantes de la quantité z^ ^= e^"^^^ seront de la forme

gtm.g O),

elles constituent deux progressions géométriques de raison q'^ et sont réciproques deux à deux. 11 existera doac deux valeurs de 5^, réciproques l'une de l'autre et de module

compris entre | 9| et

; et le module de leur somme ne

pourra surpasser I y 1 -h - ; \q\ étant d'ailleurs -< ^, ce mo-

dule sera moindre que ( i + ô- )

Pour déterminer ces deux valeurs de 5^, nous pourron; partir des deux équations

Divisons-les membre à membre et posons, pour abréger, il viendra, en extrayant la racine carrée,

.nrA '7

D'après les limites entre lesquelles sont compris les modules de 5- et de y, le second membre peut être remplacé, avec une

faible erreur relative, par<7 (^"H- tj)* Les valeurs cherchées

de z^ différeronl donc peu des racines de lYqualîon

dont la somme est

si nous déterminons le

et a son module moindre que

signe de la quantité ambiguë ±: 6, de telle sorte que sa partie réelle soit positive.

Une seconde approximation permettra, au besoin, de reclifîer les valeurs trouvées pour z-.

Connaissant

1 ir ht

les valeurs correspondantes de u seront données par la formule

(jt)t

£7=:^ — . Log3* H- 2/71,(0,.

395. Pour obtenir Texpression des fonctions Oc, 6»^' P'^^ des produits infinis, considérons le produit

I i tV

Il est évidemment convergent (|</| étant •<!) sauf pour ^ = o, et représente une fonction uniforme n'ayant pas d'autre point critique.

On a évidemment

D'autre part, si l'on change z en qz^ chacun des facteurs I — q^"z^ se change dans le suivant, et chacun des facteurs I — q^^z^^ dans le précédent, sauf le premier i — q^z^^j qui se change en i — z"'^ ; on aura donc

p(y.)=p(=)'^'.~rir'f^ --7 •=-'!'(--).

SBCONDB PARTIR. — CHAPITRB TI.

Donc P(2) ne diffère de Oc que par uu facteur constant (380), et l'on a

(,) = .LP(;)=.°-j7'(ï-3-')JJ(i-7'"-')(i

,in — î

•=: 2o\ùq^ sîmrt^ I B (i — 2^*" C0S2 7:c -h <y

On en déduit (38i)

e,i- = e(r-h-i)=:Ji#P(i<3)

=: 2(Â)<y* COSTCi' 1 I (• -H 27-" COS2lïi' -h 7^")»

- -^7*5(7*.- - q~'z-^) JI (I - 7"'^*^-)(» - 7

= .1.(1-73») JJ(i-7'-+'c«) JJ(.- y"'-';-')

= JL JJ (i — 7«-»-*<3^) (i — 7«"-»i-*)

=Z JU I I (l -I- 27^"-* C0S2lIi' -h 7^""-).

396. Il reste à déterminer la constante <^o. Pour cela, posons (' = o dans la dérivée de l'équation (35) et dans les équations (36) à (38); il viendra

e' (o) = 2X^* ir TT (i — q*" )\

Substituant ces valeurs dans Tidentité

on trouvera

jj (, -<y«')v^.\.« jj [(, +^«")(, +^«'.-')(, - 7'-')]'.

Mais le coefGcient de ^X- se réduit à Tunité, car on a évidemment

On aura donc

D'ailleurs, en supposant q infiniment petit dans l'équa-

4^6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Vf.

lion (38), on voit que a'U a pour valeur principale -h i . Donc

On obtient aisément le développement de ce produit en série. A cet effet, parlons de la relation

Dans cette identité, remplaçons s*, q par q, q^ ; il viendra

397. Substituons la valeur (4o) de d» dans les formules (39), et posons, pour abréger,

<p,(T)=y"^JJ(.-y"-«),