TT

il viendra

FONCTIONS BLLIPTIQUES.

6'(o) = aircp»(T), 6,(o)= <p(T)cpî(T),

Ces valeurs, subsliluées dans les idenlilés (aS), (29) el dans les autres formules du n^ 391 donneront

Tt/

Cl C«

Cl d —

— ei

3ei=i

^)V«p',-<pî).

(49) ff^=^(~)\"(?\-<fl){fl-'?\)if''^-<fih

to,

^^') "^ =3r^(?l' + ?i'+'PÎ')

De la combinaison de ces formules, on peut encore dé-

4a8 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.

diiire les suivantes :

(52) J-I^^ = ^^(^;<p;)«(cp;çJ)«(a>î-o;)^

tf« ^v ©5

398. Aux développements en produits, que nous venons d^obtenir pour les fonctions 0, correspondent, pour les fonctions

I r . . rfioge(f)]

2a)| dç 2(0

les développements en séries simples

I I ^r^ ^''*sîn2it(' I

(55) Ç« — - — 4T,itOj('-h7tcot7C('-h4ir \ '— I,

2aJi I ^ ^1 — 2^*'* C0S2Ttf -h ^Z*'* I

^ ^ '^ \2Wi/ I ^ * sin'TTf Zi (1 — 2y*^*cos2T:r-hry*ri-

Les fonctions

p(//H-(05j) — — — jlog3'(«-hcoa) :=— ^, logUaC " . * O^^jW

admettent des développements analogues. On aura notamment

(5;) < / I yf . ^y ^î/«-i(i^-,y*/i-«)cos2TCr — 27*"-'

~"\2Wi/l ^^*^* ^^ (l — 27*'»-«COS2Wi'-h7*'»--)-

L'identification des termes indépendants de (^ dans les formules (56) et (57) donnera

Posons dans les mêmes formules u = (o^, d'où i^ = ^; elles donneront

(Go) Ci —

Enfin, en substituant ces valeurs dans la relation on trouve Tidentité

399. Les fonctions <iUj (ioiU dépendent non seulement de u, mais des périodes 2(0|, 2(03. De même les fonctions Or, Oav^ dépendent non seulement de Vj mais du rapport t des périodes. Mettant ces paramètres en évidence, les formules (17) et (i 8) deviendront

Oa(0,T)

tlemplaçons 2a>i, 2(02 par un autre couple de périodes

43o SECONDE PARTIE. — CflAPITRE VI.

proprement équivalentes

(63) 2Wj =1 2a(i)|-f- a^Wj, 2cd', :=: 2Ca>i-|- 2rf(i)j;

et posons

20)'^ a-i-bx (Oj a -i- 6t

Nous aurons évidemment

Mais ce changement de périodes n'altère pas dUj et opère sur les fonctions dg^u une simple permutation, dépendant de la classe à laquelle appartient la substitution (63). Nous aurons donc

<«> ""■."'■"••'FéT) ='■"•""'•'■" î'fer,'

rindice cl' prenant à Tordre près les mêmes valeurs i, 2, .H que l'indice a.

Or on a

(u'j z= tOi(a -h bx)y

2 (aw, -h ^(i)t)coi

u^bizi bTziv^

^ta\(a-ï- bx) a-hbz

Donc

FONGTIOKS ELLIPTIQUES. 4^1

40J. Les constantes

sont respectivement égales, d'après les formules (4^), à

a-h OX tp3(T) ?(")?a(')

"^oLj ^^x' étant égaux à i ou à o, suivant que leur indice est égal à 3 ou <[ 3.

Elles seront donc déterminées si Ton connaît la valeur des quotients

Renvoyant à plus tard cette recherche, nous nous bornerons pour le moment à établir que les constantes cherchées sont des racines huitièmes de (a -h 6t)'.

On a, en effet (formules 33 et 3o),

6»(o,x)=^^y(ep-eT)'.

On a de même

eS.(o,<')=(|îjiy(4.-4.)',

<?a'j ^^5 ^r étant égaux, à l'ordre près, à ^a, ep, Cy.

D'ailleurs, le changement des périodes n'altère pasp^/, (3'f/, et, par hypothèse, il change

En vertu des égalités

pa—e^ —

ti^u

on aura donc et, par suite,

onc

e^(o, t) Vw,/

et enfin

L« + 6Te'(o,T)J -Lea(o,x)J -(«-^^^)

VI. — Fonctions périodiques de deuxième et de troisième espèce.

401. Nous appellerons avec M. Hermite fonctions dou blement périodiques de troisième espèce les fonctions méromorphes qui satisfont à des relations de la forme

i cp(a H- Cîcoj) — 6'^'""^*^' cp(M),

( cp(tt H- 2(0,) = e^«""^"«<p(//),

A|, B|, A2, B2 étant des constantes.

On en déduit évidemment

çp(M H- 2/niW, -4- 2/w,wj) 1= e*" "^^ <p( w),

A, B étant de nouvelles constantes.

Si A| = A2= 0, la fonction sera de seconde espèce. Si B| et B2 s'annulent également, ce sera une fonction elliptique.

Les fonctions ^^, d^iU nous ont déjà fourni des exemples

de fonctions de troisième espèce; leurs quotients <iao^j <^ap^' sont de seconde espèce. Proposons-nous de faire l'étude de ces fonctions en général.

11 résulte évidemment des équations (i) que les zéros et les pôles de f (m) sont distribués périodiquement dans le plan.

On en déduit d'ailleurs

logç(M -h 2 0)1 ) — logcp(a) -h Al w H- Bj-4- 'xm^izi, Iogcp(w -h aojj) .= iogçp(w) -\- A, w -h Bj-h im^izi,

i02. Soient «r^, . . . , a^ ceux des zéros de cp(w) et 6|, . . . , /^v ceux de ses pôles qui sont situés dans le parallélogramme des périodes tracé à partir d'un point donné Uq] on aura, comme on sait,

27C/([X — v) —y ^log«p(w),

2 7:/(2fl -S6)-- / w^logç(//),

les intégrales étant prises dans le sens direct autour du parallélogramme.

Or il est aisé de les évaluer. En effet, supposons, pour (ixer les idées, que t ait sa partie réelle positive; on aura

^Vlog'f(//)

OU, en réunissant les intégrales prises suivant les côtés opposés.

-H / é/[logo(// -h 2(0,) — Iogcp(^/)J

— Aida -f- / Aj^w

-= 2 lOj A , — 2 0> , A J .