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5o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.

•419. Celle expression en série double mel en évidence la symëlrîe de F((^, s) par rapport à ses deux arguments. Pour obtenir une série simple offrant le même avantage, considérons les termes de la série double oh m^n. Posons

mzzzn -^ p.

Leur somme sera

OU, en eflectuant la sommation relative à p,

,Sii<

Les termes o\\ n^m donneront une somme analogue, qui se déduit de la précédente en permutant z el /.

Ajoutons les deux sommes précédentes, et retranchons-en la somme des termes où /n = /i, afin de ne pas les compter deux fois ; il viendra

\ /tî»' /*» mtn { |

ta -^—1 V rAn /— *

Cette nouvelle série est d'ailleurs convergente pour toulo valeur des arguments, car la racine /2*«™* de son terme général a pour limite zéro.

420. Ayant trouvé par ce qui précède, el cela sous plusieurs formes différentes, le développement de la fonction

on en déduira, sans peine, beaucoup d'autres développements.

Changeons, par exemple, s^ en v -{- ^j ç -h ^'^ ou v — ^ — ix,

et par suite z en iz, q^^z ou — iq ^ z. Les fonctions O(i'),

0 ( ç' -f- 5) seront changées, à des facteurs exponentiels près,

dont nous avons donné l'expression (384), en

' Nous aurons ainsi obtenu le développement des trois fonctions

Fa{^,^)

Accroissons à son tour s d'une demi-période ; nous obtiendrons le développement des fonctions

421. Comme exemple de ce calcul, cherchons le dévelop pement de la fonction F2(^', 5).

On a (384)

9,((^) =zi-^qK e(^ + iT),

d'où

Oj(^^-^) — ï~*<7*JS^6(p H-5-h|x),

':.F,= -^.F((^ + iT,5)