X -f- XjT, |X -h JJLiT
A, ).|, |Ji, jjLi étant des quantités nielles. Au moyen des formules ci-dessus, on pourra ramener le calcul de F (v, 51 an cas où A| et [JL| sont compris entre o et — 1 . Dans ce cas, le^ quantités
seront comprises entre 1 et | y
416. Pour obtenir un développement de F (i>, 5), valable dans ces conditions, calculons l'intégrale
çtnix g*'^'*'
autour d*un parallélogramme ÂBCD ayant pour sommets les points
p et/>' étant des entiers inGnis.
Par suite de la périodicité des fonctions F et e^'^'^, les intégrales suivant BC et DA se détruisent.
L^intégrale suivant ÂB est infiniment petite; car on a le long de cette ligne
^ = — P'^-^.yy
y variant de o à i; et, par suite,
Or F(x,.«') ne devient infinie que pour les valeurs a: = m-i- m''Zj ou m, m sont entiers; FI ^yt^j
reste donc finie lorsque y varie de o à i. L'exponentielle ^îm(2j~i-tj restera de même finie et différents de zéro. On a enfin, par hypothèse, i < | e^" i <^ i 7 i~*« ^^ facteur e^'^"P tendra donc vers oo avec/?, mais moins rapidement que q''^P. La fonction à intégrer tendra donc vers zéro lorsque p tend vers 00.
L'intégrale suivant CD est aussi infiniment pelite, car on
a sur cette ligne
y variant de o à — i, et par suite
gtnijc -— qip'^izHiy^x-^x)^
Ces quantités tendent vers zéro pour p^ = co. Le numérateur de la fonction à intégrer tend donc vers zéro, et son dénominateur vers la constante — e^''^'*^.
L^intégrale considérée étant nulle, comme on vient de le voir pour ^9 = 00, p' =x>, la somme des résidus relatifs aux pôles intérieurs à ABGD sera nulle. Ces pôles sont de plusieurs sortes :
I® Le dénominateur e2««>^e^^'*' s^annule aux points X :=z V -h fi {n entier). L'un de ces points est intérieur à
ABCD; le résidu correspondant est - -^ \J r
2" Le numérateur F(Xy s) devient inCni aux points x ^= n-z, et Ton a
F(/iT -h /j, s) — e-«^''» F {h, s) — ^"*^^"*( T +...),
car le résidu de F relatif à l'origine est i. Le résidu de
F(x s) -T^TTZTT^^.' P^'* rapport au pôle /ît, sera donc
fjtn ^rniv
Égalant à zéro la somme des résidus et posant nous aurons donc
Sa
('«) ïbpC'^)-i;.-',-V'
il7. Pour /? =r o, on aura au second membre le lernie
On a d'ailleurs, en changeant n en — /i,
D'autre pari,
Enfio, 1 1 ] étant > i , par hypothèse,
Nous pourrons donc écrire
2ltt I — 5~* I — /-*
Cette formule a été établie en supposant i < | ^ | < | y |" * , z restant quelconque. Mais, si l'on change v^, 5 en — v, — 5, d'où Zy t en z'*, f^ les deux membres ne font que changer de signe. L'égalité subsistera donc si | ^ ] est compris entre I et |^|.
418. Si I ^ I est également compris entre \q\~* et | y |, on pourra développer en série les quantités (1 — gr^n^î)-', (1 — q^'^z~^)~*. On obtient ainsi la série double
ou^ en remplaçant les exponentielles par des lignes trigonom étriqués,
F{ÇyS) i^'7r(col'ïrc + cotT^)
