Transformations de degré impair. — Soit

n = im -h I.

La fonction pu admet les [périodes 2a>i, awj et les pùb

o, d: -^ 5 • • •> ± ^ • La décomposition en élémenls sim-

pies donnera

a désignant la constante

V^*» 2u.u)i v^"-* aacoj

D'ailleurs, la formule d'addition donne

'it'-\

FONCTIOXS ELLIPTIQUES. 5l5

En remarquant que les termes impairs en u doivent se déruire dans la somme, on aura

./» ^/2(XW, *

Le premier terme est égal à

a2f«»>l I / 2|J.(dA

, 2fJL(0i •2|X(D, 1

Substituant dans Téquation (12), nous obtiendrons l'ex- )ression àt pu par une somme de fractions simples

2 , 3 [jLCûi I I ,- a 11W4

3p'— ^ — ^ — T fft - P ' ^

) pa = pi/+ > h >

5l6 SEGOIIDB PARTIE. — CHAPITIE VI.

Intégrons Téquation (i2a); il viendra

au.

On n^a pas à ajouter de constante, la difTérence des deux membres étant nulle pour £/ = o, puisque ^u est une fonction impaire.

Intégrons encore, nous aurons

loga'tt=:loga'M -h \ logtfffiH — !---^|h

On en déduit, pour 0*1 1/, 0*22/, 0*3 e^, les formules analogues

Car, en divisant membre à membre par Tégalitë (16), od obtient des deux côtés des fonctions elliptiques aux périodes 4(i)| et 4^2) ayant mêmes zéros, mêmes pôles, et même valeur principale — pour m == o. Elles sont donc égales.

On aura encore

dlu

(18) p£/-^a=^ =(P"--«a)fI

FONCTIONS ELLIPTIQUES. SlJ