Une transformation propre

fa' b'\

de degré a'd' — b'c'=n est (309) la résultante de trois autres

dont la première et la dernière sont de déterminant i . Posons

(i>, ^z a co'i -h p (0 j , Wj zn y (0 j -h 0 w ^ ,

ûjizza'coi -^P'w,, û,— Y'w't -H S'a)',.

Nous aurons

p{uy w;, to; ) = p(tt, tOi, co,),

et la relation entre les nouvelles périodes aura pris la forme simple

Nous désignerons par pu, Çw, rfw, ^2» gif • • • ce 9"^ deviennent pu, ^u, du, giy g^, • . • , lorsqu'on y remplace

ainsi (Oi par — sans altérer la seconde période.

Les périodes de pi^ sont, comme on le voit, celles depuj

et, en outre, des /i'^"** de période — -> — -i • • • formant un

FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5ll

des N groupes définis au paragraphe précédent. Au Heu de ces /i»*="*-'* de périodes, on aurait pu adjoindre ceux d'un quelconque des autres groupes.

On obtiendrait ainsi N réseaux différents, à chacun desquels correspond une fonction elliptique p liée à la primitive par une transformation de degré n. Les formules relatives à ces diverses transformations se déduiront évidemment

de celles que nous allons établir pour la fonction puy en y

remplaçant — - par les /i»««>es j^ périodes propres qui carac-

n térisent respectivement ces divers groupes.

La transformation

étant évidemment la résultante de transformations analogues où n est remplacé par ses facteurs premiers, tous les cas pourraient être ramenés à celui-là. Nous nous bornerons donc à considérer les deux cas suivants : i° n = 2] 2° n impair.

475. Transformation de degré 2. — La fonction pu admet les périodes 20), et 20)3; elle a, aux périodes près, les pôles o et 2(0| = a)|. Aux environs de ces points, les

parties infinies de son développement sont —.^ rr-

• ^'^ ir (u — u)i)*

Enfin le développement relatif à l'origine est privé de terme constant. On aura donc, par la formule de décomposition en éléments simples

^W = — C « — Ç' ( " — «*>! ) -h C (— Wi )

r^»L (g>— gl)(g8— gl)

pu — ei

Intégrons et déterminons la constante de telle sorte que le développement des deux membres suivant les puissances de u n'ait pas de terme constant ; il vient

(4) ^W=:ÇM-h î(tf — Wi) -h ^1 M 4-7),.

5l2 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE TK

Une seconde intégration donnera

' logO'«=ilog^£/+log(3'(tt— a)j)H ' HTQitf-l-log3'(— II),),

ip -•- y), M :^u^{u — 0)1 )

3'(-tUi)

=: e * ^u^iU = e * '^usjpu — e,.

Pour déduire de là les expressions de d^ uS^ 2^^» ^i^i con-

• 1 r I ^,u ^ili :^iU .^ . j r

sidérons les rapports - — > -=:r— > -J — • Le sont des fonctions

ellipliqiies admettant les périodes awi, 4^2» leur valeur prin-

ci|)ale pour w = o est — ; leurs pôles sont ceux de 3*//; leurs

zéros sont, aux multiples près de 2(1)4 et de aco^,

J (1)1 et fci>|, (Oj et (Oj-i-(Di = — 0),, (1)3=: — (0} — |(Di et coj-hwi.

Les rapports des quatre fonctions

jouissent évidemment des mêmes propriétés; ils seront donc égaux aux précédents, et l'on aura, en conséquence,

(^) ■ 3'jMzize * (j'jtt^jW— -e * ^u\/{pu — et)(pu — e,), \'iiU=:e^ ^^u\pu — pytù^-^-^jU

FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5l3

p « — et = =~- = y

Dëveloppons les deux membres des équations (7) suivant les puissances de u; rideutification des termes constants donnera

e, inap — — e,, (8) { ei = e,-he,— etz=— a^,,

Pour calculer les constantes p-^y pfwQH — ^)> qui figurent dans les formules précédentes, ajoutons ces trois dernières; nous obtiendrons cetle première relation

CD, / (l)A

ap-^ -t-2p(to,H- —j —4^1=0.

Posons, d'autre part, 1/ = dans Tidentitë

et extrayons la racine carrée, il vient

Mais, dans le cas particulier où (Oi est réel et (Oq purement imaginaire, U4 est réel; lorsque u varie de o à 0)4, pu est

également réel et varie de -f- 00 à ^i ; donc p-i — e^ est po- J. — II. 33

5l4 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE TI.

sitîf. Il faut donc prendre

Calculons enfin 7)|, 7)2. A cet effet, changeons u ^ M-h2(«)4 = M4-4«*>, dans la formule (5). Le premier membrsera multiplié par e*^if«+<^i' , le second pare^*»**»^**"»!^ e*-^'»-*^ LHdentiGcation donne

(10) 7ii=Ti,4-ie,a)i.

L'équation

donne ensuite

/ X - T^t 27), tl),

(11) 7),= 1 hejco,.