Il est évident, d'après Thomogénéité, que l'équation

modulaire à laquelle J satisfait ne doit contenir g^ et g^ que dans la combinaison J. Elle sera donc de la forme

Cette équation sera symétrique en J et J. Soient, en efiel, R z= 2/ni (0| + 2//i2 0>a le réseau de périodes auquel correspond rinvariant J; R = a/Wi ~ -f- im^^^ l'un des réseaux

transformés, J l'invariant correspondant. En divisant à son tour la période coj par /?, on obtiendra un nouveau réseau

R'= 2/711 — î- -H 2m2— > qui sera l'un des transformés de R. Son invariant J' sera donc lié à J par la relation

Mais, d'autre part, Tinvariant absolu ne dépendant que du rapport des périodes, on a J'= J. Donc l'équation

F„(j,j) = o entraîne celle-ci

479. L'équation (18) fournit de nouvelles équations modulaires plus simples que les précédentes. Posons, en effet,

« = («>p, d'où pui^e^y pu=iefiy et remplaçons pi * + coa) par sa valeur

FOnCTIONS ELLIPTIQUES. Sig

il viendra

[2|XtO, p—--ey

-ep)

= (cp-ea)»Ij"

Or on a (397)

(le signe dépendant de Tordre circulaire des indices a, p, y). Cette équation peut donc s'écrire ainsi

\^/ ^♦«TCpJ^'U ""11,

En la combinant avec ses homologues, et tenant compte de ridentité

ainsi que des relations

(397 et 45S), on en déduit aisément

2 [XCû, \ *

Ya ^ •■-•■-1

Les quantités

sont donc rationnelles et symétriques par rapport aux quantités p > •••> p •

De semblables expressions sont racines d'équations modulaires; car, d'une part, elles pedvent s'exprimer rationnellement par p — '\ d'autre part, elles restent inaltérées par le

changement de (0| en Xa>i, X étant un entier quelconque premier à n. Soit, en effet, zhr^ le reste positif ou négatif, mais

<[ — > qu'on obtient en divisant X|x par n\ on aura

et les nombres r^ reproduisent, à l'ordre près, la suite i^