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On doit toutefois remarquer que, les expressions de —Yiiz

oS/?T

•^. ■ contenant les constantes e», ^b» celles-ci fiffureront con-

jointement avec g^ et ^3 dans les coefficients des équations modulaires correspondantes.

480. Nous allons montrer, d'après M. Kiepert, que, si n est premier à 3, le produit

FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5a I

est le cube d^une fonction rationnelle et symétrique de p } •••> p y d OÙ cette conséquence que

sont elles-mêmes des racines d'équations modulaires. Nous partirons de Pexpression

( remarquons en passant que, pour n= 2, |x = i, elle se réduirait à Yj- 1 • On a évidemment

(3o) ili = ^^^,2J^.

Considérons le produit

Son carré n'est pas altéré par le changement de tx en X[a, si \ est premier à n. Soit, en effet, ± r^, le plus petit reste de la division de X[i. par n; on aura

d'où

car rji, prend, à l'ordre près, la suite des valeurs i, 2, . . . , ;n. Cela posé, l'équation (3o) donnera

Mais <{/' * est un polynôme entier en p ^- Donc,

y2(V-i) es^ racine d'une équation modulaire (si X est premier à n).

Puisque nous supposons n impair et non divisible par 3, nous pourrons prendre successivement X = 2, X = 3, et nous en conclurons quey"",/**", et par suite

sont racines d'équations modulaires.

Cela posé, considérons l'équation

Posons

h étant infiniment petit. L'identification des valeurs principales donnera

f 2 fia>, n *(i

d'où

En comparant cette expression à la formule (27), on voit qu'on aura

a désignant une racine 24*^°* de l'unité.

Nous supposerons qu'on ait choisi pour 2C0| une période principale, et pour préciser davantage, la période de module minimum. On aura dans ce cas a = i ; car, dans le cas particulier où (i>i est réel et co^ purement imaginaire, cpT, 9/it

sont réels et positifs; quant aux facteurs du produit/,

ils sont réels et ont le signe de (1)4.

481. Supposons, pour plus de simplicité, n premier et >> 3, et cherchons à former Téquation modulaire à laquelle sallsfaîty^. Une première racine est donnée par la formule

Les autres s'en déduiront en remplaçant — - par d'autres ^ièmei jg période propres choisis à volonté dans les n autres groupes. Comme n est premier à 24, on pourra prendre les suivants (467)

(A:r=zo, I, . . ., /i — i).

On devra, en conséquence, substituer à 2(0| la nouvelle période

2ui\=z 48 A- 0)1+ 2(0j= a 0)1(24 A' -ht),

et à 2a>2 une nouvelle période 20)'^^ formant avec celle-ci un couple primitif. On pourra prendre, par exemple,

2 0)j zr — 2 0)i.

Par là T se trouvera changé en

48/:o)i4- 2o)j 24X:-h'u Les autres racines auront donc pour expression

£ r Tt 1 '»-* "^ "V24A:-+-tJ

*"" n Lc«>,(24/:-+-T)J ,/ -n \ '

Mais on a (448)

d'où

5a4 SBCOIIDB PARTIE. — CHAPITRE TI.

et, par suite,

Or on a

<fnT = y"' Jj"(i-^"'l'),

<p(34^ 4- t) =r= «px

ilti

et, en posant pour abréger e " = e,

Les racines auront donc en fonction de coi et de q les expressions suivantes :