Cela posé, considérons l'expression

(12) H = TT'' ^i^lM' )''e,...,,Èp(bl)~ep]

-Hi ^[Ei(bm}—eiy...,Ef,{bm)—ep]

Remplaçons les quantités e<, , . ., Cp par leurs valeurs

eA = \ EA(a,)+<y/,^E;t(a,)— y E;t ( «/ ) 4- xa + <'*

et changeons les signes de tous les arguments, ce qui n'ai- 1ère pas les fonctions paires 6. Cette expression prendra la forme

en posant, pour abréger,

Considérée comme fonction de a<, elle est uniforme sur toute la surface de Riemann; car chacun de ses facteurs reste inaltéré si l'on accroît d'un entier Tune des intégrales E| (gf), . • . , E^(ai); et si on les accroît simultanément des périodes du, . . . , dpi^ ils sont respectivement multipliés par des exponentielles, ayant pour somme de leurs exposants

Chaque facteur du numérateur admet d'ailleurs pour zéros les points a^, • . . , a^ et l'un des points b^. Le facteur correspondant du dénominateur a les mêmes zéros, sauf 6]^, qui est remplacé par bm-

Donc H, considéré comme dépendant de ai, est une fonction rationnelle des coordonnées ^f, e/4, ayant les mêmes zéros et les mêmes pôles que la fonction

Donc elle est égale au produit de cette fonction par un facteur indépendant de Zi, £/|.

Comme on peut faire le même raisonnement pour chacun des points aa, . . . , Up^ on aura finalement

(i3) H=rCnî(X-x/) = C[XP4-A,X/'-»-h...],

C étant une constante, qu'on pourra déterminer en assignant à ai , . . . , a^i un système de valeurs particulières.

INTÉGRALES ABÉLIBNNBS. 02.5

En donnant successivement à X /? valeurs particulières Xi , . . . , X^, nous obtiendrons /? relations de la forme

dont la résolution donnera les coefficients Â|, . . . , A^.

583. Soient («<, w<), ..., (z^, Up) p points variables, décrivant des lignes L|, . . ., L^ entre leurs positions initiales ai, • • ., a^y et leurs positions finales 61, . . ., bp. Posons

u et considérons la fonction

e[. . ., E;t(5) — 2/E;t(«/)— <^Aj . . .]

C'est une intégrale abélienne. En efiet, si l'on fait décrire à >3 un contour fermé quelconque, les valeurs initiales de E|(^), ..., E^(2) seront remplacées par des valeurs finales équivalentes; le quotient des deuTL fonctions 6 se reproduira multiplié par une exponentielle dont l'exposant est une constante, et sa dérivée logarithmique -j- restera inaltérée. C'est

donc une fonction uniforme. D'ailleurs -i- -r ^ pour points

critiques les pôles simples «i-et 6/, les résidus correspondants étant — I et -4-1. Donc I est bien une intégrale abélienne, ayant les points logarithmiques ai et 6/.

D'ailleurs, lorsque z décrit un des contours C/, les fonctions 6 ne sont pas altérées, et I ne peut varier que de multiples de aiti. Ses premières périodes cycliques seront donc des multiples de 2tc«. Elles varient d'ailleurs d'une manière continue lorsque les points 6/ se déplacent (tant que les lignes L/ ne rencontrent pas les coupures C/). Mais, dans leur position initiale, I se réduit à la constante log 1 = 0.

Les premières périodes cycliques, étant nulles à cet instant,

resteront telles dans toute la suite du mouvement; on aura donc

(«5) l=iz2GS,H-C,

C étant une constante, car elle n'a plus de pôle, et ses premières périodes cycliques sont nulles. On pourra, si I'od veut, faire disparaître cette constante en changeant Torigine des intégrales GJj.

L'égalité (i5) étant ainsi établie tant que les points z et bi ne traversent pas les coupures C/, subsistera de quelque manière que varient ces quantités, car ses deux membres sont des fonctions analytiques des coordonnées des points z et 6|.

584. Supposons que les points a/ se réunissent en un même point a, 'et les points bi en un même point b. L^quation précédente deviendra

c^85. On peut également exprimer les intégrales de seconde espèce F^ au moyen de la transcendante 6.

Soit en effet z' un point situé dans le voisinage du point fixe a; considérons l'expression

On pourra développer Ea(3^) suivant les puissances entières et positives d'un, paramètre /', qui s'annule pour z' = a.

Si z décrit un lacet M/G/IVI7* aboutissant à un contour G/, O ne sera pas changé; son logarithme ne pourra varier que

d'un multiple de 2Tzij et la dérivée -3— restera invariable.

Si z décrit un lacet aboutissant à un contour D/, E^^ s'accroîtra de dki] logO s'accroîtra d'une quantité de la forme

7zi[ — 2Ei{z)-h 2/?E/(5')H- 23*/— du] -h 2miti

(m étant entier): et -n- s accroîtra d une constante. ^ ■ ^ dtv-