Désignons, pour abréger, par AV l'expression
dx^ dy^ dz''
L'équation aux dérivées partielles
aV^zo,
que nous venons de rencontrer dans la théorie du potentiel, joue un rôle considérable dans la Physique mathématique. Les fonctions qui y satisfont ont reçu le nom de fonctions harmoniques. Nous sommes en mesure d'établir à leur égard quelques théorèmes généraux.
Soient, en effet, U, V deux fonctions de x^ j', z continue?, ainsi que leurs dérivées premières, dans un domaine fermé T. On aura
dz dz dz ôz dz-
Intégrons dans le domaine T. La première intégrale du second membre se ramène à une intégrale double (149': on aura donc, en désignant par dv l'élément de volume Ac l'espace T, par cIt l'élément de surface de sa frontière, ei
DES PONCTIONS REPRfiSENTÊBS PAR DBS INTÉGRALES DÉFINIES. ail
par NZ Tangle de la normale extérieure à Télément avec les z
positifs
PermutODS circulairement a:, y^ z dans cette formule, ajoutons les résultats obtenus et posons, pour abréger,
\^\dx dx '^ dy dv "^ âz dz)"^'^' il viendra
I = Cu/'^^cosNX-+-^cosNY+^'cos\z')</j--.C
L'intégrale double qui figure dans cette formule peul être l'crile sous une forme plus condensée. Soient, en effet, Sor, \\\ Zz^ oV les variations qu'éprouvent x^ y^ 3, V lorsque, partant d^un point de la surface, on se déplace de la quantité infmiment petite oN sur la normale intérieure; on aura
Ix Lz - 5N cos NX, 8/ :^ — 8N cos N Y, Iz—- o\ ces NZ, ôx uy ^ ôz
-r- cos NX -H -7- cos NY -h -7- \dx a y ôz
L'équation précédente pourra donc s'écrire Permutant U et V et retranchant, il viendra
identité qui constitue le théorème de Green, Si U etV sont des fonctions harmoniques, cette relation
212 SECOI<rDB PARTIE. — CHAPITRE 111.
se réduit à
Posons, en particulier, U = i ; nous aurons (.7) S
209. Soit (a, i, c) un point intérieur à T. On reconnaît sans peine que la fonction
est harmonique. Elle n'est pas continue dans la région T, mais elle le sera dans le domaine T' obtenu en retranchant de T une sphère s d'un rayon p infiniment petit ayant son centre en (a, i,c). On pourra donc appliquer la formule (i 6)
aux deux fonctions - et V dans la région T', ce qui donnera
l'intégrale V étant prise sur la surface frontière de T, et
l'intégrale V sur la frontière de la sphère.
Il est facile d'évaluer cette dernière intégrale. En eflel, sur la sphère, r a une valeur constante p. Le dernier terme de l'intégrale est donc
iO'8V ,
et s'annule en vertu de la formule (17) qui peut être appliquée à la sphère.
On a d'ailleurs
/■ I or I I
car, N désignant la normale intérieure àT'(ou extérieure à la sphère), SN et 8r sont égaux. Donc
D'ailleurs, la sphère s étant inOniment petile, la valeur de V en chacun de ses points diffère infiniment peu de la valeur V(a, 6, c) qu'il possède en son centre; cette intégrale aura donc pour valeur limite
— V(a, 6, c) -^ V cfff = — 47rV(a, bj c).
Nous aurons donc
210. Supposons, en particulier, que T se réduise à une sj)hère de rayon R et de centre a, 6, c; cette formule se réduira, d'après le calcul lait plus haut (en remarquant qu'ici, N représentant la normale intérieure à la sphère, on a or = — oN, ce qui change le signe du résullat), à
(19) 4^V(a,6,c)=i^|gvrfa.
On en conclut ce théorème :
Théorème. — Une fonction harmonique V, continue dans une région T sans être constante, ne peut avoir ni maximum ni minimum à l' intérieur de cette région.
En effet, supposons par exemple qu'elle eût un maximum Vo au point (a, è, c). Traçons autour de ce point une splière d'un rayon r arbitraire, mais assez petit pour que la sphère soit intérieure à T. Supposons qu'en un point x^ y, z de la surface de la sphère, V fût moindre que son maximum Vo et fût égal à Vo — a. Soit 8 une quantité moindre que a. On pourra assigner une quantité e telle qu'en tous les points de
ai4 SKCOMDE PARTIE. — CHAPITRE III.
la surface de la sphère donl la dislaDce k x, y^ z est moindre que e, V soit encore moindre que Vo — a + 3. Soient 5 l'aire de la région d formée par l'ensemble de ces points; /\Tzr- — s l'aire du reste D de la surface sphérique; V n y pourra surpasser Vq. On aura évidemment
pS^'"=iS/^-7iS/-
<^(Vo-a-i-8)54-^Vo(47^/-'-5)<4-Vo,
ce qui contredit Tcqualion (19).
Donc la fonction V doit conserver aux environs du point a, 6, c la même valeur Vq qu'en ce point lui-même; et, en cheminant de proche en proche, on voit qu'elle sera constanlr dans toute la région T.
211. Corollaire. — Une /onction harmonique continue dans la région T est complètement déterminée lorsqu'on connaît sa valeur en chaque point de la frontière de T.
En effet, soient deux fonctions V, W admettant les mêmes valeurs aux divers points de la frontière; leur différence V — W sera nulle sur toute la frontière de T. Elle le sera aussi à son intérieur, car autrement elle devrait admettre un maximum ou un minimum.
212. On est conduit à se demander s'il existe toujours une fonction harmonique V continue dans la région T et prenant aux divers points de sa frontière un système de valeurs donné a priori (sous la seule condition de varier d'une manière continue). Cette question célèbre, connue sous le nom de problème de Dirichlet, a été l'objet de nombreux travaux de MM. Schwartz, Neumann, Poincaré, etc. Ils l'ont résolue par l'affirmative, sauf quelques légères restrictions.
Nous nous bornerons à traiter la question dans le cas d'une sphère.
A.dmettant provisoirement Texistence de la fonction cher-
DBS PONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉPINIES. 31 5
chée, nous déterminerons d'abord sa forme; et nous vérifierons ensuite qu'elle satisfait aux conditions requises. Soient
R le rayon de la sphère ;
(a, bj c) un point intérieur quelconque;
/ =z ^/a^ -^ b'i^c^ sa distance au centre.
Nous aurons, d'après les formules précédentes,
Dans l'intégrale du second membre figurent, outre les
valeurs de V sur la surface de la sphère, celles de ^r^» q^î ^^c
sont pas des données de la question. Mais on peut les éliminer par l'artifice suivant.
Au point (a, 6, c) intérieur à la sphère correspond, comme on sait, un point conjugué (a^ ^n ^f) situé sur le même diamètre, à une distance /| du centre donnée par la formule
